Показательная и логарифмическая функции в гуманитарном профиле: график
Показательная и логарифмическая функции на BAC, гуманитарный профиль: определения, графики, область определения, монотонность и сравнения. Страница следует гуманитарной программе и показывает шаги, за которые схема даёт баллы.
Приложения показательной функции, логарифмической функции в повседневной жизни, физике, технике, в строительстве, искусстве, в технологиях, биологии, медицине, социологии.
Что требует программа в гуманитарном профиле Страница написана для работы BAC по математике гуманитарного профиля (программа «Гуманитарный профиль», раздел X.3 «Функции»). Программа требует показательную и логарифмическую функции: понятие, график, свойства и приложения. Свойства выводят по рисунку графика и/или по формуле. Логарифм числа и правила действий с ним — другая тема программы (раздел X.1); здесь речь о функциях.
Показательная функция Функция f:R→(0;+∞),f(x)=ax с основанием a>0,a=1, называется показательной. В заданиях BAC та же функция записана и как f:R→R (задание 10 за 2024 и 2025 годы); тогда (0;+∞) остаётся множеством значений E(f). Неизвестное стоит в показателе: 2x и (31)x показательные, а x2 нет. При a=1 получилась бы постоянная функция 1x=1, поэтому основание 1 исключают.
Её свойства:
D(f)=R и E(f)=(0;+∞): степень ax положительна при любом поэтому график лежит только выше оси
Логарифмическая функция Обратная к показательной функции с основанием a — логарифмическая: y=logax⇔ay=x. Значит, где и Область определения и множество значений меняются местами по сравнению с показательной.
D(f)=(0;+∞) и E(f)=R. Поэтому аргумент логарифма строго положителен: для logau(x) записывают условие
В учебнике графики 2x и log2x, а также (21)x и симметричны относительно прямой (биссектрисы I и III четвертей).
ax
logax
Область определения
R
(0;+∞)
Сравнение: монотонность в деле Строго монотонная функция сохраняет или меняет порядок. Для показательной функции и для логарифма (у логарифма α,β>0):
a>1:aα>aβ⇔α>β и знак неравенства остаётся.
Путь к вопросу о монотонности или о сравнении, в три шага (схема страницы по схемам оценивания заданий ниже, а не правило из учебника):
1)Приведи основание к простому виду: показатель с минусом переносят в основание, a−x=(a1)x, а иррациональность в знаменателе убирают.
2)Сравни основание с 1.
Степень сравнивают с 1 как значение показательной функции в точке. Примеры из учебника: (51)5<1, потому что основание меньше а показатель при отрицательном показателе сравнение переворачивается, поэтому Две степени с основанием сравнивают по показателям: Два логарифма с одним основанием сравнивают по аргументам; если основания разные, их приводят к одному основанию правилами логарифмов, а если знаки разные, каждый сравнивают с
Приложения Величина, растущая на b% за период, следует формуле y=a(1+100b)x, а убывающая на — формуле здесь — начальная сумма, — период времени. Показательная функция описывает размножение бактерий, изменение населения и изменение атмосферного давления с высотой; логарифм встречается в pH растворов, шкале Рихтера и децибелах.
Перед записью ответа Проверь основание (a>0,a=1), аргумент логарифма (>0) и то, больше основание 1 или меньше. Схема даёт баллы по этапам (основание приведено к простому виду, сравнение с вывод), поэтому записывай их все.
Чертежи и схемы
Показательная функция и логарифм для основания 2 (a > 1) и основания 1/2 (0 < a < 1): одни и те же неподвижные точки, (0; 1) и (1; 0), и монотонность в зависимости от того, больше основание 1 или меньше. На левом рисунке масштабы по осям разные, на правом одинаковые.
Определение показательной функции и примеры (в том числе функция, которая показательной не является), свойства и графики для разных оснований, сравнение степеней, применения (температура воды в чайнике, рост древесины, размножение бактерий). Урок Евгении Лунгу для 10 класса, записан для 2020/21 учебного года; обозначения могут отличаться от учебника 2025 года.
Определение логарифмической функции и её связь с показательной как обратной, свойства и графики для двух случаев основания, примеры на область определения и на сравнение логарифмов, применения. Урок Евгении Лунгу для 10 класса, записан для 2020/21 учебного года; обозначения могут отличаться от учебника 2025 года.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
19 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Учебник · Ион Акири, Валентин Гарит, Петру Ефрос, Николае Продан · 2025 · с. 139–140, 147–150 (модуль 7, § 4.1 и § 5.1, включая упражнения для гуманитарного профиля и профилей искусство и спорт) · на русском
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
x,
Ox.
Нулей нет. При x=0 степень равна a0=1, поэтому график проходит через (0;1).
При a>1 функция строго возрастает на R; при 0<a<1 строго убывает на R.
Она не чётная и не нечётная и не имеет локальных экстремумов.
f:(0;+∞)→R,
f(x)=logax,
a>0
a=1.
u(x)>0.
Значение 0 принимается только при x=1: график проходит через (1;0), а x=0 вне области определения, поэтому оси Oy график не достигает.
При a>1 строго возрастает, при 0<a<1 строго убывает.
Знак при a>1: отрицательна на (0;1), положительна на (1;+∞); при 0<a<1 наоборот.
Она не чётная и не нечётная, так как (0;+∞) не симметрично относительно начала координат.
log1/2x
y=x
Множество значений
(0;+∞)
R
Точка на оси
(0;1), на Oy
(1;0), на Ox
Основание a>1
строго возрастает
строго возрастает
Основание 0<a<1
строго убывает
строго убывает
logaα>logaβ⇔α>β;
0<a<1: знак меняется: aα>aβ⇔α<β и logaα>logaβ⇔α<β.
Для равенства: aα=aβ⇔α=β.
3)Запиши вывод словами функции: «строго возрастает» или «строго убывает».
