Mathematics, BAC · Profil real · Analiză matematică · Limite de funcții. Funcții continue

Funcții continue: continuitate, discontinuități, Bolzano–Cauchy

Funcțiile continue la BAC, profilul real: continuitatea într-un punct și pe o mulțime, punctele de discontinuitate, teorema Bolzano–Cauchy. Aici ai definiția, criteriile cu limite laterale, proprietățile pe interval și lucrul cu parametri.

This topic is in Romanian.

What the program asks for
What you need to know
Videos
Flashcards
Topic quiz
At the exam

What you need to know

Ce cere programa
Tema este unitatea XI.2 a programei de BAC pentru profilul real, partea despre funcții continue; se învață în clasa a XI-a, după limitele de funcții, pe noțiunea cărora se bazează definiția continuității. Programa cere noțiunea de funcție continuă într-un punct, punctul de discontinuitate, continuitatea pe o mulțime, criteriile de continuitate, continuitatea funcțiilor elementare și teorema Bolzano–Cauchy despre anularea funcției. Intuitiv, graficul unei funcții continue pe un interval este o linie fără întreruperi, pe care o desenezi dintr-o singură trăsătură.

Definiția
Fie $f\colon E\to\mathbb{R}$ și $x_0\in E$ un punct de acumulare al lui $E$ . Funcția este continuă în $x_0$ atunci când limita ei în $x_0$ există și coincide cu valoarea $f(x_0)$ : $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ . Practic verifici trei lucruri: $f$ este definită în $x_0$ , limita există, limita este egală cu $f(x_0)$ . Un punct izolat al domeniului este, prin definiție, punct de continuitate, de aceea continuitatea se studiază în punctele de acumulare. Un punct $x_0\in E$ în care $f$ nu este continuă se numește punct de discontinuitate.

Criterii de continuitate
Manualul dă trei formulări echivalente, pentru $x_0\in E$ :

cu $\varepsilon$ și $\delta$ : pentru orice $\varepsilon>0$ există $\delta>0$ astfel încât $\lvert x-x_0\rvert<\delta\Rightarrow\lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$ ;

Ultimul este cel pe care îl folosești la funcțiile definite pe porțiuni.

Continuitate laterală și pe o mulțime
Funcția este continuă la stânga în $x_0$ dacă $f(x_0-0)=f(x_0)$ și continuă la dreapta dacă Într-un punct interior continuitatea înseamnă cele două continuități laterale deodată. Pe un segment în capătul contează doar continuitatea la dreapta, iar în doar cea la stânga. O funcție continuă în fiecare punct al mulțimii este continuă pe când spui simplu „funcție continuă”, te referi la tot domeniul ei de definiție.

Funcții elementare și operații
Un polinom, o fracție rațională, o exponențială sau altă funcție elementară nu are întreruperi nicăieri în domeniul ei; de aceea limita într-un punct al domeniului se află înlocuind pur și simplu $x$ cu $x_0$ . Suma, diferența, produsul, câtul (cu numitor nenul) și compusa unor funcții continue sunt tot continue; în manual această secțiune este marcată ca opțională. Pe fiecare porțiune cu formulă elementară funcția este continuă, deci la o funcție definită pe porțiuni rămân de verificat doar punctele în care se schimbă formula.

Puncte de discontinuitate
Pentru un punct $x_0$ interior domeniului:

Ce se întâmplă în $x_0$	Speța
limitele laterale sunt finite și diferite	întâi
limitele laterale sunt finite și egale, dar diferite de $f(x_0)$	întâi
cel puțin o limită laterală este infinită sau nu există	a doua

Dacă ambele limite laterale sunt finite, saltul funcției în $x_0$ este diferența $f(x_0+0)-f(x_0-0)$ . Într-un punct de continuitate saltul este dar el poate fi și într-o discontinuitate, în al doilea caz din tabel.

Proprietăți pe un interval

Weierstrass. O funcție continuă pe un segment $[a,b]$ este mărginită și își atinge marginile, deci are pe $[a,b]$ o cea mai mică și o cea mai mare valoare. Segmentul contează: o funcție continuă poate fi nemărginită, ca $x^2$ pe $(0;+\infty)$ sau pe

Cum folosești tema

1)Funcție pe porțiuni, cu parametri: pe fiecare porțiune formula este elementară, deci continuă; în punctul de legătură scrie $f(x_0-0)=f(x_0)=f(x_0+0)$ . Fiecare egalitate dă o ecuație, deci doi parametri se află din două ecuații. Limitele necesare se calculează cu metodele din tema despre limite.

Funcții continue: continuitate, discontinuități, Bolzano–Cauchy

What the program asks for

What you need to know

Videos

The rest of this topic is in the subscription

Sources

Who stands behind this page