Mathematics, BAC · Profil real · Analiză matematică · Limite de funcții. Funcții continue

Limite de funcții: calcul, forme exceptate, limite remarcabile, asimptote

Limitele de funcții la BAC, profilul real: limita într-un punct și la infinit, formele exceptate, limitele remarcabile și asimptotele graficului. Aici ai regulile din manual și ordinea în care le aplici la calcul.

This topic is in Romanian.

What the program asks for
What you need to know
Videos
Flashcards
Topic quiz
At the exam

What you need to know

Ce cere programa
Tema este unitatea XI.2 din programa de BAC pentru profilul real (clasa a XI-a): limita într-un punct și la $\pm\infty$ , limitele laterale, limitele funcțiilor elementare, operațiile cu limite, formele exceptate, limitele remarcabile și asimptotele graficului. Continuitatea are pagina ei. Printre cerințele programei sunt să aplici algoritmul de calcul al limitei și să elimini nedeterminările.

Limita într-un punct
Fie $x_0$ un punct de acumulare al domeniului $E$ : în orice vecinătate a lui $x_0$ există cel puțin un punct din $E$ diferit de $x_0$ . Funcția are limita $l$ în $x_0$ dacă pentru orice $\varepsilon>0$ există $\delta>0$ astfel încât din $x\in E\setminus\{x_0\}$ și $\lvert x-x_0\rvert<\delta$ rezultă $\lvert f(x)-l\rvert<\varepsilon$ . Observă că $x_0$ este exclus: valoarea $f(x_0)$ nu intră în definiție, iar $f$ poate chiar să nu fie definită în $x_0$ . Dacă limita există, ea este unică.

La infinit definiția are aceeași formă: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$ dacă pentru orice $\varepsilon>0$ există $\delta>0$ astfel încât implică Limita poate fi și infinită, iar uneori nu există (de exemplu când limitele laterale diferă).

Limite laterale
Limita la stânga ( $x\to x_0$ , $x<x_0$ ) și limita la dreapta ( $x>x_0$ ) se notează și Dacă este punct de acumulare și la stânga, și la dreapta, funcția are limită în dacă și numai dacă cele două limite laterale sunt egale. Le folosești la funcțiile definite pe porțiuni, la în și oricând semnul lui decide rezultatul.

Funcții elementare și operații
Pentru o funcție elementară și un $x_0$ din domeniu, limita este chiar valoarea funcției, deci substituie direct. Dacă $f$ și $g$ au limite finite în $x_0$ , limita sumei, a diferenței, a produsului și a câtului (cu condiția ca limita numitorului să fie este suma, diferența, produsul și câtul limitelor; cu limite infinite apar formele exceptate. La o funcție compusă schimbi variabila cu și lângă

Rezultatele de la infinit pe care le folosești cel mai des:

polinom: contează termenul de grad maxim, $\lim_{x\to\infty}P(x)=\lim_{x\to\infty}a_0x^n$ ;

Criteriul cleștelui: dacă $f\le h\le g$ și $f$ , $g$ au aceeași limită $a$ , atunci și $h\to a$ .

Formele exceptate
Dacă substituția dă o expresie fără sens, ai o formă exceptată. Sunt șapte: $\dfrac\infty\infty$ , $\dfrac00$ , $0\cdot\infty$ , Ea nu este un rezultat, ci semnalul că expresia trebuie transformată:

Forma	Ce faci
$\dfrac00$	descompui în factori și simplifici cu $x-x_0$ (se poate, fiindcă $x\ne x_0$ ), sau amplifici cu conjugata, sau aplici o limită remarcabilă

La $+\infty$ , pentru $\alpha>0$ și $a>1$ , $\log_ax$ crește mai lent decât iar mai lent decât după această ordine alegi funcția dominantă.

Limitele remarcabile
Programa le dă pe acestea: $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ , $\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e$ și Din ele se deduc limitele pe care le aplici la fiecare pas, toate pentru

$\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1$ , $\dfrac{a^x-1}{x}\to\ln a$ pentru

Limitele de mai sus pentru $x\to0$ rămân adevărate când în locul lui $x$ stă o expresie $u(t)\to0$ , cu $u(t)\ne0$ lângă punctul respectiv; la expresia trebuie să tindă la Argumentul trebuie să se potrivească: se scrie mai întâi La scrii baza cu și

Asimptotele graficului

Orizontală la $+\infty$ : dreapta $y=l$ , dacă $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$ (la la fel).

Cum lucrezi

1.Vezi spre ce tinde $x$ și dacă punctul este de acumulare pentru domeniu.
2.Substituie. Dacă obții un număr sau $\pm\infty$ prin regulile operațiilor, ai terminat.
3.Altfel numește forma exceptată și aplică metoda din tabel; la fiecare simplificare verifică $x\ne x_0$ .
4.Dacă rezultatul depinde de semn, calculează limitele laterale.

Limite de funcții: calcul, forme exceptate, limite remarcabile, asimptote

What the program asks for

What you need to know

Videos

The rest of this topic is in the subscription

Sources

Who stands behind this page