Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Пределы функций. Непрерывные функции

Непрерывные функции: непрерывность, точки разрыва, Больцано–Коши

Непрерывные функции на бакалавриате, реальный профиль: непрерывность в точке и на множестве, точки разрыва, теорема Больцано–Коши. Здесь определение, критерии через односторонние пределы, свойства на промежутке и работа с параметрами.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Тема входит в блок XI.2 программы бакалавриата для реального профиля, в часть о непрерывных функциях; её проходят в 11 классе после пределов функций: на понятии предела основано и определение непрерывности. Программа называет: понятие непрерывной функции в точке, точку разрыва, непрерывность на множестве, критерии непрерывности, непрерывность элементарных функций и теорему Больцано–Коши об аннулировании функции. Наглядно: график функции, непрерывной на промежутке, — линия без разрывов, которую можно нарисовать одним росчерком.

Определение
Пусть $f\colon E\to\mathbb{R}$ , а $x_0\in E$ — предельная точка множества $E$ . Функция непрерывна в $x_0$ , когда её предел в $x_0$ существует и совпадает со значением $f(x_0)$ : $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ . На практике проверяют три вещи: $f$ определена в $x_0$ , предел существует, предел равен $f(x_0)$ . Изолированная точка области определения по определению является точкой непрерывности, поэтому непрерывность изучают в предельных точках. Точка $x_0\in E$ , в которой $f$ не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Критерии непрерывности
В учебнике даны три равносильные формулировки для $x_0\in E$ :

на языке $\varepsilon$ и $\delta$ : для любого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$ такое, что из $\lvert x-x_0\rvert<\delta$ следует

Последним критерием пользуются в задачах с кусочно заданными функциями.

Односторонняя непрерывность и непрерывность на множестве
Функция непрерывна слева в $x_0$ , если $f(x_0-0)=f(x_0)$ , и непрерывна справа, если Во внутренней точке непрерывность означает одновременную непрерывность с обеих сторон. На отрезке в точке имеет значение только непрерывность справа, а в точке — только слева. Функция, непрерывная в каждой точке множества непрерывна на когда говорят просто «непрерывная функция», имеют в виду всю область определения.

Элементарные функции и действия над ними
Многочлен, рациональная дробь, показательная и другая элементарная функция не имеет разрывов нигде в области определения; поэтому предел в точке области определения находят, просто подставляя $x_0$ вместо $x$ . Сумма, разность, произведение, частное (при ненулевом знаменателе) и композиция непрерывных функций тоже непрерывны; в учебнике этот раздел отмечен как дополнительный. На каждом куске с элементарной формулой функция непрерывна, поэтому у кусочно заданной функции проверять остаётся лишь точки, где меняется формула.

Точки разрыва
Для точки разрыва $x_0$ , внутренней для области определения:

Что происходит в $x_0$	Род
односторонние пределы конечны и различны	первый
односторонние пределы конечны и равны, но не равны $f(x_0)$	первый
хотя бы один односторонний предел бесконечен или не существует	второй

Если оба односторонних предела конечны, скачок функции в $x_0$ равен разности $f(x_0+0)-f(x_0-0)$ . В точке непрерывности скачок равен но он может быть равен и в точке разрыва — это второй случай таблицы.

Свойства на промежутке

Вейерштрасс. Функция, непрерывная на отрезке $[a,b]$ , ограничена и достигает своих точных граней, то есть имеет на $[a,b]$ наименьшее и наибольшее значения. Отрезок существен: непрерывная функция может быть неограниченной, как $x^2$ на $(0;+\infty)$ или на

Как применяют тему

1)Кусочно заданная функция с параметрами: на каждом куске формула элементарна, значит, непрерывна; в точке стыка записывают $f(x_0-0)=f(x_0)=f(x_0+0)$ . Каждое равенство даёт уравнение, поэтому два параметра находят из двух уравнений. Нужные пределы считают методами темы о пределах.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Ульяна Половинкина Математика · YouTube

О чём: Точки разрыва первого и второго рода по односторонним пределам и три примера, в том числе с кусочной функцией (классификация с 1:17). В ролике первый род определён только как конечные неравные односторонние пределы, а скачок назван всегда положительным (берут модуль); на этой странице, как в учебнике, к первому роду относят и случай равных пределов, не равных $f(x_0)$ , а скачок — это разность $f(x_0+0)-f(x_0-0)$ со знаком. Определение непрерывности в начале дано упрощённо, точная формулировка — в учебнике.

Канал: Финская математика по-русски · YouTube

О чём: Теорема Больцано–Коши с обоими условиями (непрерывность на отрезке и разные знаки на концах), её графический смысл и применение к существованию корня уравнения; урок финского лицейского курса, теорема начинается с 2:48.

Непрерывные функции: непрерывность, точки разрыва, Больцано–Коши

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу