Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ

Числовые функции: свойства, композиция, обратная функция

Функция, область определения и значения, монотонность, чётность, периодичность, ограниченность, композиция и обратная функция. Правила, пример уровня BAC и три задания: одно из набора 2026, два из реальных работ 2024.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что нужно знать

Что требует программа
Для реального профиля программа BAC (X.4) требует понятие функции, способы задания и график, затем свойства: монотонность, чётность, периодичность, ограниченность, нули и экстремумы. Далее идут операции с функциями, композиция и обратимые функции.

Функция и связанные с ней множества
У функции три составляющие, записываемые как $(A,B,f)$ : область определения $A$ , область изменения $B$ (два непустых множества) и правило $f$ , которое каждому $x\in A$ сопоставляет ровно один $y\in B$ . Область определения обозначают $D(f)$ . Множество значений $E(f)=f(A)$ содержит лишь те значения, которые действительно появляются, поэтому $E(f)\subseteq B$ .

Две функции равны, только если у них одна и та же область определения, одна и та же область изменения и одинаковые значения: $x\mapsto|x|$ с областью изменения $\mathbb{R}$ и $x\mapsto|x|$ с областью изменения $\mathbb{R}_+$ — разные функции.

Нули и монотонность
Нуль функции $f$ — число $\alpha$ , для которого $f(\alpha)=0$ . На графике ему соответствует точка $(\alpha;0)$ , общая с осью $Ox$ (график может и просто касаться оси, как в нуле).

Для $x_1<x_2$ из множества $I\subseteq D(f)$ функция возрастает, если $f(x_1)\le f(x_2)$ , и убывает, если При строгих неравенствах ( и функция строго возрастает, соответственно строго убывает. Квадратичная функция при строго убывает на и строго возрастает на при направления меняются.

Чётность
Сначала проверяют область определения: если $x\in D$ , то должно быть и $-x\in D$ . Если область определения несимметрична относительно начала координат, функция не является ни чётной, ни нечётной. Затем вычисляют $f(-x)$ : функция чётна, если $f(-x)=f(x)$ , и нечётна, если для всех Геометрически: у чётной функции вместе с точкой на графике лежит и у нечётной — Поэтому у графика чётной функции ось симметрии а у графика нечётной — центр симметрии в начале координат.

Периодичность
Функция периодична, если существует $T\ne0$ такое, что $x\pm T\in D$ и $f(x\pm T)=f(x)$ для всех Если — период, то и ( — период: например, и так далее. Когда он существует, наименьший положительный период называется основным периодом; у постоянной функции его нет, так как любое — её период.

Ограниченность и экстремумы
Функция ограничена снизу, если существует действительное число $m$ (минорант) такое, что $m\le f(x)$ для всех $x$ из области определения, и ограничена сверху, если есть $M$ (мажорант) такое, что $f(x)\le M$ . Просто ограниченной называют функцию, ограниченную и снизу, и сверху. Функция при ограничена снизу, но не сверху; миноранту находят, выделив полный квадрат.

Точка $a\in D(f)$ — точка локального максимума (минимума), если существует окрестность $V_\varepsilon(a)$ , в которой $f(x)\le f(a)$ (соответственно для всех этой окрестности, принадлежащих области определения; локальные максимумы и минимумы — локальные экстремумы.

Наибольшее значение функции устанавливают в два хода: показывают, что $f(x)\le M$ для любого $x$ из области определения, затем находят $x_0$ , для которого $f(x_0)=M$ . Наименьшее значение ищут так же: и точка, где достигается.

Операции с функциями
Сумма, произведение и частное определяются поточечно: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ , где Если области определения разные и нужна сумма или произведение, работают на

Композиция $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ вычисляется справа налево: сначала $f$ , потом $g$ . Для $f\colon A\to B$ и она определена, когда то есть область изменения входит в область определения Если включение ложно, композицию определить нельзя: например, не существует когда область изменения равна а область определения — В общем случае но композиция ассоциативна.

Обратная функция
Функция $g$ обратна к $f\colon A\to B$ , если $g(y)=x\Leftrightarrow f(x)=y$ . Для функции, заданной формулой, действуют так:

1)из $y=f(x)$ выражают $x$ через $y$ ;
2)если $x$ выражается однозначно, функция обратима;
3)меняют местами $x$ и $y$ и получают

Если у какого-то $y$ из области изменения два прообраза или ни одного, обратную функцию на этой области определения задать нельзя. Учебник показывает: формула $|x|$ не даёт обратимой функции на $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , но даёт на $\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ , так что сужение области определения и области изменения может исправить положение.

Для $f^{-1}$ верно $D(f^{-1})=E(f)$ и $E(f^{-1})=D(f)$ . Графики и симметричны относительно прямой а если строго возрастает (убывает), то так же ведёт себя и Важно: — это не

Числовые функции: свойства, композиция, обратная функция

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу