Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Пределы функций. Непрерывные функции

Пределы функций: неопределённости, замечательные пределы, асимптоты

Пределы функций на бакалавриате, реальный профиль: предел в точке и на бесконечности, неопределённости, замечательные пределы и асимптоты графика. Здесь правила из учебника и порядок, в котором их применять.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники

Что нужно знать

Что требует программа
Тема — раздел XI.2 программы бакалавриата для реального профиля (XI класс): предел в точке и на $\pm\infty$ , односторонние пределы, пределы элементарных функций, операции над пределами, неопределённости, замечательные пределы и асимптоты графика. Непрерывность вынесена в отдельную тему. Среди требований программы — применять алгоритм вычисления предела и устранять неопределённости.

Предел в точке
Пусть $x_0$ — предельная точка области определения $E$ : в любой окрестности $x_0$ есть хотя бы одна точка множества $E$ , отличная от $x_0$ . Функция имеет предел $l$ в точке $x_0$ , если для любого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$ такое, что из $x\in E\setminus\{x_0\}$ и $\lvert x-x_0\rvert<\delta$ следует $\lvert f(x)-l\rvert<\varepsilon$ . Заметь: точка $x_0$ исключена, значение $f(x_0)$ в определение не входит, а сама $f$ в $x_0$ может быть даже не определена. Если предел существует, он единственный.

На бесконечности определение того же вида: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$ , если для любого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$ такое, что из следует Предел может быть и бесконечным, а иногда его нет (например, когда односторонние пределы различны).

Односторонние пределы
Предел слева ( $x\to x_0$ , $x<x_0$ ) и предел справа ( $x>x_0$ ) обозначают и Если — предельная точка и слева, и справа, функция имеет предел в тогда и только тогда, когда эти односторонние пределы равны. Они нужны для кусочно заданных функций, для в точке и всякий раз, когда результат решает знак

Элементарные функции и операции
Для элементарной функции и точки $x_0$ из области определения предел равен значению функции, поэтому просто подставляй. Если у $f$ и $g$ конечные пределы в $x_0$ , предел суммы, разности, произведения и частного (при условии, что предел знаменателя равен сумме, разности, произведению и частному пределов; с бесконечными пределами получаются неопределённости. Для сложной функции делают замену где и около

Результаты на бесконечности, которые нужны чаще всего:

многочлен: решает член старшей степени, $\lim_{x\to\infty}P(x)=\lim_{x\to\infty}a_0x^n$ ;

Признак «зажима»: если $f\le h\le g$ и у $f$ , $g$ один и тот же предел $a$ , то и $h\to a$ .

Неопределённости
Если подстановка даёт выражение без смысла, перед тобой неопределённость. Их семь: $\dfrac\infty\infty$ , $\dfrac00$ , $0\cdot\infty$ , Это не ответ, а сигнал, что выражение нужно преобразовать:

Вид	Что делать
$\dfrac00$	разложить на множители и/или умножить на сопряжённое, затем сократить на $x-x_0$ (можно, потому что $x\ne x_0$ ), или применить замечательный предел

На $+\infty$ при $\alpha>0$ и $a>1$ функция $\log_ax$ растёт медленнее а — медленнее по этому порядку выбирают функцию-доминанту.

Замечательные пределы
Программа называет такие: $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ , $\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e$ и Из них выводят пределы, которые применяют на каждом шагу, все при

$\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1$ , $\dfrac{a^x-1}{x}\to\ln a$ при

Эти пределы при $x\to0$ верны и тогда, когда вместо $x$ стоит выражение $u(t)\to0$ , не равное нулю около рассматриваемой точки; для $\left(1+\dfrac1x\right)^x$ нужно Аргумент должен совпасть: сначала записывают как В неопределённости основание записывают как при и пользуются равенством

Асимптоты графика

Горизонтальная при $+\infty$ : прямая $y=l$ , если $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$ (при так же).

Порядок работы

1.Посмотри, куда стремится $x$ и является ли точка предельной для области определения.
2.Подставь. Если по правилам операций вышло число или $\pm\infty$ , готово.
3.Иначе назови неопределённость и примени способ из таблицы; на каждом сокращении проверяй $x\ne x_0$ .

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Борис Трушин · YouTube

О чём: Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне и их эквивалентность; лекция для студентов, язык строже школьного. Определение по Коши совпадает с учебником, а определения по Гейне в учебнике нет (только замечание 3 на с. 38 о последовательностях). Вычисление пределов в ролике не разбирается.

Канал: TutorOnline - ОГЭ и ЕГЭ, уроки для школьников · YouTube

О чём: Вычисление пределов: неопределённость 0/0 (разложение на множители, избавление от иррациональности), отношение многочленов на бесконечности, первый и второй замечательные пределы и следствия из них. Ролик рассчитан на первокурсников (зачёт по пределам); перечисленные приёмы названы в автосубтитрах.

Канал: Ульяна Половинкина Математика · YouTube

О чём: Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты с примерами и числом асимптот; коэффициенты наклонной асимптоты автор обозначает k и b, в учебнике это m и n.

Пределы функций: неопределённости, замечательные пределы, асимптоты

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу