Прямая призма на BAC, гуманитарный профиль: элементы, сечения, площади боковой и полной поверхности и объём по формулам учебника 12 класса. Здесь видно, как найти диагональ, высоту и сторону основания и какие ошибки стоят баллов.
Что требует программа Страница — для гуманитарного профиля. Раздел XII.4 «Многогранники» программы BAC требует по этой теме призму: элементы и классификацию, у прямой призмы — сечения, параллельные основанию, и диагональные, площади поверхностей и объём. Прямой параллелепипед, а значит и прямоугольный параллелепипед, и куб, — прямая призма, поэтому задачи о них входят сюда: на BAC гуманитарного профиля они были в работах 2022 и 2023 годов и в тренировочном наборе 2026 года. Пирамида и усечённая пирамида — другие единицы программы. В учебнике 12 класса для этого профиля есть свои наборы задач, в том числе прикладных, например про покраску гаража. Формулы ниже нужно знать: на экзамене важно найти недостающую длину и выбрать подходящую формулу.
Призма и её элементы У призмы два основания — конгруэнтные многоугольники в параллельных плоскостях. Остальные грани — боковые, а рёбра между ними — боковые рёбра. Боковые рёбра параллельны и конгруэнтны, поэтому боковые грани — параллелограммы. Высота H — расстояние между плоскостями оснований. Призма носит имя своего основания (треугольная, четырёхугольная, n-угольная); у призмы с n-угольным основанием 2 основания и n боковых граней. Диагональ призмы — отрезок между двумя вершинами, не лежащими в одной грани.
Классификация
Прямая призма: боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Её боковые грани — прямоугольники, а боковое ребро l совпадает с высотой: l=H. Иначе призма наклонная.
Правильная призма: прямая призма, в основании которой правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат).
Параллелепипед: призма, в основании которой параллелограмм. Прямой параллелепипед с прямоугольником в основании — прямоугольный параллелепипед, а прямоугольный параллелепипед со всеми конгруэнтными рёбрами — куб.
Сечения прямой призмы
Плоскость, параллельная основанию, режет призму по многоугольнику, конгруэнтному основанию, то есть с той же площадью.
Диагональное сечение (у призмы, в основании которой не меньше 4 сторон) получается плоскостью, проведённой через два боковых ребра, не лежащих в одной грани; в общем случае это параллелограмм. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основанию, а значит, и диагонали основания в плоскости сечения: сечение — прямоугольник со сторонами, равными диагонали основания d и высоте H. Его площадь равна d⋅H.
Площади Площадь боковой поверхности Aбок — сумма площадей боковых граней, площадь полной поверхности Aполн — сумма площадей всех граней. Для прямой призмы с периметром основания P, боковым ребром l и площадью основания
Величина
Формула
площадь боковой поверхности
Aбок=P⋅l
площадь полной поверхности
Aполн=Aбок+2Aосн
Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями a,b,c получается Aполн=2(ab+bc+ca), а для куба с ребром —
Объём Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V=Aосн⋅H. У прямоугольного параллелепипеда V=abc, у куба V=a3. Все длины записывают в одних единицах; площадь получается в см², объём — в см³.
Диагонали и углы В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений: d2=a2+b2+c2. Для куба отсюда d=a3, а диагональ квадратной грани равна Боковая грань прямой призмы — прямоугольник со сторонами (сторона основания) и поэтому её диагональ равна снова по теореме Пифагора.
Угол между диагональю призмы и плоскостью основания — это острый угол между диагональю и её проекцией на плоскость. У прямой призмы проекция диагонали A1C — диагональ основания AC, потому что AA1 перпендикулярно основанию (проекция точки A1 — точка Получается прямоугольный треугольник с катетами и угол при вершине Прямоугольный треугольник с углом равнобедренный, поэтому тогда
Расстояние от вершины верхнего основания, например B1, до стороны нижнего, например AC: в нижнем основании проводят BM⊥AC,M∈AC. Проекция прямой на нижнее основание — а значит, (теорема о трёх перпендикулярах). Искомое расстояние равно
Формулы для основания В основании обычно треугольник или четырёхугольник, а его площадь берут из планиметрии:
треугольник со стороной a и высотой ha:A=21aha; прямоугольный треугольник с катетами а гипотенуза
Порядок работы
1)Нарисуй призму и выпиши данные: P,l=H,Aосн.
2)Сначала найди основание: сторону, диагональ или высоту основания, по теореме Пифагора.
3)Примени нужную формулу; в полной площади не забудь два основания.
4)Запиши единицу: см² для площади, см³ для объёма. Оставляй корень точным, если в условии нет просьбы округлить.
Чертежи и схемы
Прямая призма с прямоугольником в основании (прямоугольный параллелепипед); для любого основания идея та же. Оранжевая линия A₁C₁ — диагональ верхнего основания. Диагональное сечение AA₁C₁C — прямоугольник со сторонами AC (диагональ основания) и AA₁ = l = H. Проекция диагонали A₁C на плоскость основания — AC, поэтому угол диагонали с основанием равен φ, углу прямоугольного треугольника AA₁C.
Определение призмы и её элементы (основания, боковые грани и рёбра, высота, диагональ), прямая, наклонная и правильная призма, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и куб, диагональ прямоугольного параллелепипеда; затем две задачи на прямую призму, в том числе на угол между диагональю призмы и плоскостью основания.
Площадь боковой поверхности прямой призмы Aбок=P⋅l, площадь полной поверхности как сумма боковой и двух площадей основания, затем две задачи: правильная треугольная призма по площади основания и боковой площади, правильная четырёхугольная призма по диагонали и углу с основанием.
Свойства объёма и единицы объёма (в речи преподавателя оговорка: куб с ребром 1 мм назван кубом объёма 1 см³, верно — 1 мм³), объём прямоугольного параллелепипеда и куба, теорема об объёме призмы V=Aосн⋅H; две задачи — прямоугольный параллелепипед с диагональю под углом к основанию и прямая призма с ромбом в основании.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
18 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Учебник · Ион Акири, Валентин Гарит, Петру Ефрос и др.; перевод с румынского Иона Акири · 2023 · с. 148–153, 161–162, 227–229 (страницы PDF) · на русском
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
Aосн:
a
Aполн=6a2.
a2.
a
H,
a2+H2,
A).
AA1C
AC
AA1=H;
φ
C.
45°
AC=H.
B1M
BM,
BM⊥AC,
B1M⊥AC
B1M=H2+BM2.
a,
b:
A=21ab,
c=a2+b2;
равносторонний треугольник со стороной a:A=4a23;
ромб с диагоналями d1,d2:A=2d1d2; со стороной a и высотой ha:A=a⋅ha. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому его сторона — гипотенуза треугольника с катетами 2d1 и 2d2;
квадрат со стороной a:A=a2, а его диагональ d=a2.
