Funcția de gradul II: parabola, vârful, zerourile, monotonia, semnul
Funcția de gradul II și graficul ei, parabola: cazurile particulare, vârful, zerourile, monotonia, semnul și extremele. Aici ai regulile din manualul de clasa a IX-a, ordonate cum le cere programa examenului.
Domeniul FUNCŢII
- Funcția de gradul II.
- Cazuri particulare ale funcției de gradul II.
- Graficul funcției de gradul II.
- Proprietățile funcției de gradul II: zerouri, monotonie, semn, extreme.
Ce cere programa Programa examenului de gimnaziu numește la această temă funcția de gradul II, cazurile ei particulare, graficul și patru proprietăți: zerourile, monotonia, semnul și extremele.
Definiția Funcția f:R→R,f(x)=ax2+bx+c, unde a,b,c sunt numere reale și a=0, este numită funcție de gradul II. Graficul ei se numește parabolă, iar vârful parabolei se află pe axa ei de simetrie. Ecuația ax2+bx+c=0 este ecuația asociată funcției, iar Δ=b2−4ac este discriminantul acestei ecuații.
Cazurile particulare
f(x)=ax2: vârful este originea O(0;0), parabola este simetrică față de axa Oy, cu ramurile în sus dacă a>0 și în jos dacă a<0.
Forma canonică și vârful Dacă scoți a factor comun și completezi pătratul, obții forma canonică: f(x)=a(x+2ab)2−4aΔ.Ea arată că parabola lui este parabola lui deplasată cu de-a lungul axei și cu de-a lungul axei O translație nu schimbă direcția ramurilor, deci și aici ramurile sunt în sus pentru și în jos pentru
Vârful este V(x0;y0), cu x0=−2ab și iar dreapta este axa de simetrie a parabolei. Ordonata vârfului o poți afla și ca înlocuind abscisa în formula funcției.
Extremele și mulțimea valorilor
a>0:x0=−2ab este punct de minim, valoarea minimă este −4aΔ, iar
Un punct de minim sau de maxim poartă numele comun de punct de extrem, iar valoarea funcției într-un asemenea punct este o valoare extremă.
Monotonia Abscisa vârfului împarte axa în două intervale de monotonie:
(−∞;−2ab]
[−2ab;+∞)
Zerourile și intersecțiile cu axele Un zerou al funcției este o soluție reală a ecuației asociate, așa că numărul zerourilor depinde de Δ:
Δ>0: două zerouri, x1,2=2a−b±Δ; parabola taie axa în punctele și
Axa Oy este tăiată în punctul (0;f(0)), adică (0;c), fiindcă f(0)=c.
Semnul
Δ<0:f(x) are semnul lui a pentru orice x real.
Δ=0:f(x) are semnul lui a pentru orice x=−2ab.
Cum trasezi graficul
1)Găsești intersecțiile cu axele: rezolvi ecuația asociată pentru Ox și calculezi f(0) pentru Oy.
2)Afli vârful și axa de simetrie.
3)Completezi tabelul de variație: abscisele găsite, abscisa vârfului și câteva valori de o parte și de alta a lui.
4)Din tabel citești unde funcția crește, unde descrește și unde își atinge extremul, apoi unești punctele printr-o parabolă.
Videos
These videos come from other people's channels, not from Nota10. Nothing from YouTube loads until you click a video.
Covers: Graficul construit prin puncte: tabele de valori, mai multe parabole desenate în același sistem de axe și, la final, definiția funcției de gradul II. Lecție de clasa a IX-a.
Covers: Proprietățile cerute de programă: mulțimea valorilor, extremele, intervalele de monotonie și semnul funcției de gradul II, apoi exerciții de citire a proprietăților de pe grafic.
The rest of this topic is in the subscription
The summary, the sources and the videos stay open. With the subscription, this page also opens:
16 flashcards with the facts of the topic, which join your daily review
the topic quiz: 10 questions with answers and explanations
9 ANCE items on this topic, with their marking scheme
The account is free and needs no card: with it you take the diagnostic and keep your results. The flashcards and the quiz of the topic then open with the subscription.
Source of the tests: the National Agency for Curriculum and Assessment, ance.gov.md. Nota10 is not affiliated with MEC or ANCE. Automatic grading is an estimate, not an official grade.
f(x)=ax2+n: același grafic, mutat de-a lungul axei Oy în sus cu n unități dacă n>0 sau în jos cu −n unități dacă n<0. Vârful O(0;0) se mută odată cu graficul, deci ajunge în (0;n).
f(x)=a(x−m)2: graficul lui ax2 mutat de-a lungul axei Ox, la dreapta cu m unități dacă m>0 sau la stânga cu −m unități dacă m<0. Vârful O(0;0) se mută odată cu graficul, deci ajunge în (m;0).
ax2+bx+c
ax2
−2ab
Ox
−4aΔ
Oy.
a>0
a<0.
y0=−4aΔ,
x=−2ab
y0=f(x0),
E(f)=[−4aΔ;+∞).
a<0:x0=−2ab este punct de maxim, valoarea maximă este −4aΔ, iar E(f)=(−∞;−4aΔ].
a>0
strict descrescătoare
strict crescătoare
a<0
strict crescătoare
strict descrescătoare
Ox
(x1;0)
(x2;0).
Δ=0: un singur zerou, x=−2ab; parabola are cu axa Ox un singur punct comun, (−2ab;0). Acesta este chiar vârful, fiindcă pentru Δ=0 ordonata vârfului, −4aΔ, este 0.
Δ<0: niciun zerou; parabola nu intersectează axa Ox.
Δ>0 și x1<x2:f(x) are semnul lui a pe (−∞;x1)∪(x2;+∞) și semnul opus pe (x1;x2).
