Funcția de gradul II: parabola, vârful, zerourile, monotonia, semnul
Funcția de gradul II și graficul ei, parabola: cazurile particulare, vârful, zerourile, monotonia, semnul și extremele. Aici ai regulile din manualul de clasa a IX-a, ordonate cum le cere programa examenului.
Domeniul FUNCŢII
- Funcția de gradul II.
- Cazuri particulare ale funcției de gradul II.
- Graficul funcției de gradul II.
- Proprietățile funcției de gradul II: zerouri, monotonie, semn, extreme.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1156 din 24.11.2022.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Programa examenului de gimnaziu numește la această temă funcția de gradul II, cazurile ei particulare, graficul și patru proprietăți: zerourile, monotonia, semnul și extremele.
Definiția Funcția f:R→R,f(x)=ax2+bx+c, unde a,b,c sunt numere reale și a=0, este numită funcție de gradul II. Graficul ei se numește parabolă, iar vârful parabolei se află pe axa ei de simetrie. Ecuația ax2+bx+c=0 este ecuația asociată funcției, iar Δ=b2−4ac este discriminantul acestei ecuații.
Cazurile particulare
f(x)=ax2: vârful este originea O(0;0), parabola este simetrică față de axa Oy, cu ramurile în sus dacă a>0 și în jos dacă a<0.
Forma canonică și vârful Dacă scoți a factor comun și completezi pătratul, obții forma canonică: f(x)=a(x+2ab)2−4aΔ.Ea arată că parabola lui este parabola lui deplasată cu de-a lungul axei și cu de-a lungul axei O translație nu schimbă direcția ramurilor, deci și aici ramurile sunt în sus pentru și în jos pentru
Vârful este V(x0;y0), cu x0=−2ab și iar dreapta este axa de simetrie a parabolei. Ordonata vârfului o poți afla și ca înlocuind abscisa în formula funcției.
Extremele și mulțimea valorilor
a>0:x0=−2ab este punct de minim, valoarea minimă este −4aΔ, iar
Un punct de minim sau de maxim poartă numele comun de punct de extrem, iar valoarea funcției într-un asemenea punct este o valoare extremă.
Monotonia Abscisa vârfului împarte axa în două intervale de monotonie:
(−∞;−2ab]
[−2ab;+∞)
Zerourile și intersecțiile cu axele Un zerou al funcției este o soluție reală a ecuației asociate, așa că numărul zerourilor depinde de Δ:
Δ>0: două zerouri, x1,2=2a−b±Δ; parabola taie axa în punctele și
Axa Oy este tăiată în punctul (0;f(0)), adică (0;c), fiindcă f(0)=c.
Semnul
Δ<0:f(x) are semnul lui a pentru orice x real.
Δ=0:f(x) are semnul lui a pentru orice x=−2ab.
Cum trasezi graficul
1)Găsești intersecțiile cu axele: rezolvi ecuația asociată pentru Ox și calculezi f(0) pentru Oy.
2)Afli vârful și axa de simetrie.
3)Completezi tabelul de variație: abscisele găsite, abscisa vârfului și câteva valori de o parte și de alta a lui.
4)Din tabel citești unde funcția crește, unde descrește și unde își atinge extremul, apoi unești punctele printr-o parabolă.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Graficul construit prin puncte: tabele de valori, mai multe parabole desenate în același sistem de axe și, la final, definiția funcției de gradul II. Lecție de clasa a IX-a.
Ce acoperă: Proprietățile cerute de programă: mulțimea valorilor, extremele, intervalele de monotonie și semnul funcției de gradul II, apoi exerciții de citire a proprietăților de pe grafic.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
16 cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
f(x)=ax2+n: același grafic, mutat de-a lungul axei Oy în sus cu n unități dacă n>0 sau în jos cu −n unități dacă n<0. Vârful O(0;0) se mută odată cu graficul, deci ajunge în (0;n).
f(x)=a(x−m)2: graficul lui ax2 mutat de-a lungul axei Ox, la dreapta cu m unități dacă m>0 sau la stânga cu −m unități dacă m<0. Vârful O(0;0) se mută odată cu graficul, deci ajunge în (m;0).
ax2+bx+c
ax2
−2ab
Ox
−4aΔ
Oy.
a>0
a<0.
y0=−4aΔ,
x=−2ab
y0=f(x0),
E(f)=[−4aΔ;+∞).
a<0:x0=−2ab este punct de maxim, valoarea maximă este −4aΔ, iar E(f)=(−∞;−4aΔ].
a>0
strict descrescătoare
strict crescătoare
a<0
strict crescătoare
strict descrescătoare
Ox
(x1;0)
(x2;0).
Δ=0: un singur zerou, x=−2ab; parabola are cu axa Ox un singur punct comun, (−2ab;0). Acesta este chiar vârful, fiindcă pentru Δ=0 ordonata vârfului, −4aΔ, este 0.
Δ<0: niciun zerou; parabola nu intersectează axa Ox.
Δ>0 și x1<x2:f(x) are semnul lui a pe (−∞;x1)∪(x2;+∞) și semnul opus pe (x1;x2).
