Функция II степени: парабола, вершина, нули, монотонность, знак
Функция II степени и её график, парабола: частные случаи, вершина, нули, монотонность, знак и экстремумы. Здесь правила из учебника 9-го класса в том порядке, в каком их требует программа экзамена.
Область ФУНКЦИИ
- Функция II степени.
- Частные случаи функции II степени.
- График функции II степени.
- Свойства функции II степени: нули, монотонность, знак, экстремумы.
Что требует программа Программа экзамена за гимназию называет в этой теме функцию II степени, её частные случаи, график и четыре свойства: нули, монотонность, знак и экстремумы.
Определение Функцию f:R→R,f(x)=ax2+bx+c, где a,b,c — действительные числа и a=0, называют функцией II степени; другое её название — квадратичная функция. Её график называется параболой, а вершина параболы лежит на её оси симметрии. Уравнение ax2+bx+c=0 соответствует функции, и Δ=b2−4ac — дискриминант этого уравнения.
Частные случаи
f(x)=ax2: вершина в начале координат O(0;0), график симметричен относительно оси Oy, ветви направлены вверх при a>0 и вниз при a<0.
Канонический вид и вершина Если вынести a за скобки и выделить полный квадрат, получится канонический вид функции: f(x)=a(x+2ab)2−4aΔ.Из него видно, что парабола — это парабола сдвинутая на вдоль оси и на вдоль оси Параллельный перенос не меняет направление ветвей, поэтому и здесь ветви направлены вверх при и вниз при
Вершина — точка V(x0;y0), где x0=−2ab и прямая — ось симметрии параболы. Ординату вершины можно найти и как подставив абсциссу в формулу функции.
Экстремумы и множество значений
a>0:x0=−2ab — точка минимума, минимум функции равен −4aΔ, а
Общее название для точки минимума и точки максимума — точка экстремума, а значение функции в такой точке — экстремум.
Монотонность Абсцисса вершины делит ось на два промежутка монотонности:
(−∞;−2ab]
[−2ab;+∞)
Нули и точки пересечения с осями Нули функции — это действительные решения соответствующего ей уравнения, поэтому их число зависит от Δ:
Δ>0: два нуля, x1,2=2a−b±Δ; парабола пересекает ось в точках и
Ось Oy парабола пересекает в точке (0;f(0)), то есть (0;c), потому что f(0)=c.
Знак
Δ<0:f(x) имеет знак a при любом действительном x.
Δ=0:f(x) имеет знак a при любом x=−2ab.
Как построить график
1)Найди точки пересечения с осями: реши соответствующее уравнение для оси Ox и вычисли f(0) для оси Oy.
2)Найди вершину и ось симметрии.
3)Составь таблицу изменений: найденные абсциссы, абсцисса вершины и несколько значений по обе стороны от неё.
4)По таблице определи монотонность, точки экстремума и экстремумы, затем соедини точки параболой.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Повторение темы в начале X класса: определение функции II степени, её свойства (множество значений, нули, монотонность, экстремумы) и построение графиков по таблице значений на примерах.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
16 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
f(x)=ax2+n: тот же график, перенесённый вдоль оси Oy вверх на n единиц, если n>0, или вниз на −n единиц, если n<0. Вершина O(0;0) переносится вместе с графиком и оказывается в точке (0;n).
f(x)=a(x−m)2: график ax2, перенесённый вдоль оси Ox вправо на m единиц, если m>0, или влево на −m единиц, если m<0. Вершина O(0;0) переносится вместе с графиком и оказывается в точке (m;0).
ax2+bx+c
ax2,
−2ab
Ox
−4aΔ
Oy.
a>0
a<0.
y0=−4aΔ,
x=−2ab
y0=f(x0),
E(f)=[−4aΔ;+∞).
a<0:x0=−2ab — точка максимума, максимум равен −4aΔ, а E(f)=(−∞;−4aΔ].
a>0
строго убывает
строго возрастает
a<0
строго возрастает
строго убывает
Ox
(x1;0)
(x2;0).
Δ=0: один нуль, x=−2ab; у параболы одна общая точка с осью Ox,(−2ab;0). Это и есть вершина: при Δ=0 ордината вершины −4aΔ равна 0.
Δ<0: нулей нет, парабола не пересекает ось Ox.
Δ>0 и x1<x2:f(x) имеет знак a на (−∞;x1)∪(x2;+∞) и противоположный знак на (x1;x2).
