Matematica, BAC · Profil real · Elemente de combinatorică. Binomul lui Newton. Elemente de teoria probabilităților și statistică matematică · Elemente de teoria probabilităților și statistică matematică

Teoria probabilităților: definiția clasică, independența, valoarea medie

Probabilități la BAC, profil real: evenimente, definiția clasică, independența, variabila aleatoare și valoarea medie. Itemul de probabilitate are 8 puncte, iar pagina arată cum se numără cazurile și ce plătește baremul.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Partea „Elemente de teoria probabilităților” din tema XII.4 a programei BAC pentru profilul real are șase puncte: evenimentul și clasificarea lui, definiția clasică a probabilității, evenimentele aleatoare și operațiile cu ele, evenimentele independente, variabila aleatoare și valoarea ei medie. Programa cere calcularea probabilității unui eveniment ca raport al cazurilor favorabile la cele posibile și determinarea valorii medii a unei variabile aleatoare discrete.

Evenimente
Evenimentul este rezultatul unui experiment sau al unei observații. El este sigur ( $E$ ) dacă se produce la fiecare efectuare, imposibil ( $\varnothing$ ) dacă nu se produce niciodată și aleator dacă uneori se produce, iar alteori nu. Evenimentele sunt incompatibile când oricare două dintre ele nu se pot produce în același timp (la o aruncare a zarului nu cad și $1$ , și $6$ puncte), altfel sunt compatibile. Rezultatele sunt echiprobabile dacă, din motive de simetrie, niciunul nu are mai multe șanse decât celelalte: moneda perfectă, zarul perfect, bilele identice ca formă, mărime și masă.

Definiția clasică
Fie un experiment cu un număr finit $n$ de rezultate incompatibile și echiprobabile, dintre care $m$ sunt favorabile evenimentului $A$ . Atunci $P(A)=\dfrac mn$ . Pentru evenimentul sigur deci pentru cel imposibil deci Orice probabilitate respectă o fracție mai mare decât arată o greșeală de numărare.

Cum numeri $n$ și $m$
La un item de BAC mare parte din muncă este numărătoarea. $m$ numără, dintre cele $n$ rezultate, doar pe cele favorabile, deci ambele numere se referă la același spațiu de rezultate: ordonate sau neordonate. Instrumentele sunt cele de la combinatorică:

regula produsului: $k$ alegeri succesive, în $n_1,n_2,\dots,n_k$ moduri, dau combinații; cazurile care se exclud între ele se adună (regula adunării);

Evenimente și operații cu ele
Mulțimea evenimentelor elementare $E=\{e_1,\dots,e_n\}$ conține rezultatele posibile ale experimentului, dintre care la fiecare efectuare se realizează exact unul. Un eveniment aleator este o submulțime a lui $E$ ; elementele ei sunt rezultatele favorabile. Operațiile:

reuniunea $A\cup B$ : se produce cel puțin unul dintre $A$ , $B$ ;
intersecția $A\cap B$ : se produc ambele;
evenimentul contrar $\overline A$ : nu se produce;

Formule pentru probabilități

$A$ , $B$ incompatibile: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ , la fel pentru mai multe evenimente incompatibile două câte două;
oarecare:

Evenimente independente
$A$ și $B$ sunt independente dacă $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ . Evenimentele despre experimente fără legătură (două zaruri, două urne) sunt independente, deci probabilitatea ca ambele să se producă este produsul probabilităților. Pentru mai multe evenimente (independență în totalitate), regula produsului trebuie să se verifice pentru orice grup luat dintre ele, nu doar pentru perechi. Nu le confunda: incompatibile înseamnă independente înseamnă

Variabila aleatoare discretă și valoarea medie
O variabilă aleatoare $\xi$ asociază fiecărui rezultat elementar un număr real; aici ia un număr finit de valori $x_1,\dots,x_n$ . Repartiția ei este tabelul cu valorile $x_i$ și probabilitățile iar Valoarea medie este fiecare valoare se înmulțește cu probabilitatea ei și produsele se adună.

Ce plătește baremul
În lucrarea de profil real din sesiunea de bază 2025, itemul de probabilitate are 8 puncte: baremul dă 3 pentru numărul cazurilor posibile, 3 pentru cel al cazurilor favorabile și 2 pentru raport. Scrie deci pe rând $n$ , $m$ și $p=\dfrac mn$ , fiecare cu argumentul lui.

Video

Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.

Canalul: Bac to Go · YouTube

Ce acoperă: Clip scurt, în stil de elev către elev, despre diferența dintre aranjamente (contează ordinea) și combinări (submulțimi, ordinea nu contează), cu regula practică și calculul C(5,2)=10; cade pe secțiunea „Cum numeri n și m”, nu e despre probabilitate propriu-zisă și nu folosește notațiile $A_n^k$ și $C_n^k$ ale manualului. Confirmat după titlu și descriere, nu după subtitrări (YouTube nu le-a dat), și nevăzut integral.

Canalul: Pauza de Mate · YouTube

Ce acoperă: Introducere calmă, de nivel clasa a VI-a, în ideea P = cazuri favorabile / cazuri posibile (urnă cu bile, bilete, zar), cu 0 ≤ P ≤ 1 și avertizarea că o fracție mai mare decât 1 e greșeală de numărare. Nu are combinatorică, evenimente independente, variabilă aleatoare sau valoare medie, deci e doar primul pas, sub nivelul BAC. Confirmat după titlu și descriere, nu după subtitrări (YouTube nu le-a dat), și nevăzut integral.

Canalul: Clasa Viitorului · YouTube

Ce acoperă: Lecție de pregătire pentru BAC, în română; conținutul lecțiilor este aprobat de ANCE. Fragmentul de la minutul 9 este despre probabilități: definiția clasică aplicată în probleme cu obiecte extrase dintr-o mulțime, coduri și numere cu cifre, vagoane și perechi, apoi evenimente independente și evenimentul contrar. Înainte (0:00–9:00) se amintesc aranjamentele, permutările și combinările; un exercițiu de la minutele 36–38 este gândit prin probabilitate condiționată, care nu e în programă; variabila aleatoare și valoarea medie nu apar.

Canalul: InternetUrok.ru · YouTube

Ce acoperă: Video în limba rusă (nu am găsit unul în română): variabila aleatoare discretă, tabelul repartiției și valoarea medie, numită aici «математическое ожидание» (de la minutul 5:51). Din 13:00 urmează legea numerelor mari, de la 14:08 dispersia și abaterea medie pătratică, apoi repartițiile Bernoulli, binomială și geometrică; ele nu sunt în programă, iar în introducere se pomenesc și variabilele continue.

Teoria probabilităților: definiția clasică, independența, valoarea medie

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină