Что требует программа
Раздел «Элементы теории вероятностей» темы XII.4 программы бакалавриата для реального профиля состоит из шести пунктов: событие и классификация событий, классическое определение вероятности, случайные события и операции над ними, независимые события, случайная величина и её математическое ожидание. Программа требует вычислять вероятность события как отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных и находить среднее значение дискретной случайной величины.
События
Событие — результат эксперимента или наблюдения. Оно достоверное (E), если происходит при каждом проведении, невозможное (∅), если не происходит никогда, и случайное, если иногда происходит, а иногда нет. События несовместимы, если никакие два из них не могут произойти одновременно (при одном броске кости не выпадают и 1, и 6 очков), иначе они совместимы. Исходы равновозможны, если из соображений симметрии ни у одного из них нет больше шансов, чем у остальных: симметричная монета, игральная кость с равными шансами граней, шары, идентичные по форме, величине и массе.
Классическое определение
Пусть у эксперимента конечное число n несовместимых равновозможных исходов, из которых m благоприятствуют событию A. Тогда P(A)=nm. У достоверного события поэтому у невозможного поэтому Любая вероятность удовлетворяет условию дробь больше означает ошибку в подсчёте.
Как считать n и m
В задаче на экзамене основная часть работы — подсчёт. m считает, сколько из n исходов благоприятны, поэтому оба числа относятся к одному и тому же пространству исходов: упорядоченных или неупорядоченных. Инструменты берутся из комбинаторики:
- правило произведения: k последовательных выборов, которые можно сделать n1,n2,…,nk способами, дают комбинаций; взаимоисключающие случаи складываются (правило сложения);
События и операции над ними
Пространство элементарных событий E={e1,…,en} состоит из возможных исходов эксперимента, из которых при каждом проведении наступает ровно один. Случайное событие — подмножество E; его элементы — благоприятные исходы. Операции:
- объединение A∪B: наступило хотя бы одно из A, B;
- пересечение A∩B: наступили оба;
- противоположное событие A: не наступило;
Формулы вероятностей
- A, B несовместимы: P(A∪B)=P(A)+P(B), так же для нескольких попарно несовместимых событий;
- A, совместимы: у несовместимых событий поэтому и формула превращается в предыдущую;
Независимые события
События A и B независимы, если P(A∩B)=P(A)⋅P(B). События, относящиеся к разным экспериментам (две кости, две урны), независимы, поэтому вероятность того, что произойдут оба, равна произведению вероятностей. Для нескольких событий (независимость в совокупности) правило произведения должно выполняться для любой их группы, а не только для пар. Не путай понятия: несовместимость означает независимость означает
Случайная величина и математическое ожидание
Случайная величина ξ ставит в соответствие каждому элементарному исходу действительное число; здесь у неё конечное число значений x1,…,xn. Распределение — таблица со значениями xi и вероятностями причём Математическое ожидание (среднее значение) равно каждое значение умножается на свою вероятность, произведения складываются.
За что платит схема проверки
В работе реального профиля основной сессии 2025 года задание по вероятности стоит 8 баллов: схема проверки даёт 3 балла за число всех исходов, 3 за число благоприятных и 2 за отношение. Поэтому записывай по очереди n, m и p=nm, каждое с обоснованием.
