Ce cere programa
La profilul real, programa de BAC cere la această temă patru lucruri: noțiunile fundamentale, gruparea datelor, reprezentarea lor grafică (diagrame prin batoane, prin bare și structurale) și mărimile medii: media aritmetică, media aritmetică ponderată, mediana și modulul. Manualul de clasa a XII-a le leagă prin frecvențe și adaugă histograma și poligonul frecvențelor.
Noțiuni fundamentale
Statistica adună, grupează, analizează și interpretează datele despre un fenomen. Populația statistică este o mulțime de elemente de aceeași natură, cu trăsături esențiale comune, supuse unui studiu statistic. Elementele ei sunt unitățile statistice, iar numărul lor este volumul (efectivul) n. Trăsătura comună studiată se numește caracteristică statistică (variabilă statistică), iar valorile ei sunt variantele. Caracteristicile se împart astfel:
- calitativă, dacă nu se măsoară (culoarea ochilor, profesia), sau cantitativă, dacă se măsoară (nota, înălțimea);
- o caracteristică cantitativă este continuă, dacă ia orice valoare dintr-un interval (înălțimea), sau discretă, dacă ia doar valori izolate (nota).
De obicei se studiază doar o selecție (eșantion), aleasă la întâmplare din populație. Cât de bine spun datele ei ceva despre întreaga populație depinde de reprezentativitatea selecției, adică de măsura în care păstrează structura populației.
Gruparea datelor
Pe variante, datele devin perechile (xi;ni), unde ni este frecvența absolută a variantei xi, adică de câte ori apare; tabelul se numește serie statistică, iar ∑ni=n. Când variantele sunt multe, mai ales la o caracteristică continuă, datele se grupează pe intervale [a;b): capătul din dreapta nu aparține intervalului (cu excepția, eventual, a ultimului). Pentru numărul de intervale r manualul recomandă formula lui Sturges, r≈1+3,322lgn, iar regula generală cere ca r să fie între 5 și 20. Lungimea h=rxmax−xmin se rotunjește la numărul natural următor, dacă trebuie să fie număr întreg.
Pe lângă ni se folosesc:
- frecvența relativă fi=nni, care se poate scrie și în procente;
- frecvența absolută cumulată Fi=n1+⋯+ni;
Reprezentarea grafică
| Diagrama | Pentru ce date | Cum se construiește |
|---|
| Histograma | date grupate pe intervale | pe fiecare interval, ca bază, un dreptunghi cu înălțimea proporțională cu frecvența |
| Poligonul frecvențelor | aceleași date | linie frântă prin punctele (xi∗;ni), cu xi∗ mijlocul intervalului |
Media aritmetică
Pentru valorile x1,…,xn: xˉ=n1∑i=1nxi. Pe variante, pe intervale, în locul lui se ia mijlocul al intervalului. În ultimele două cazuri se numește medie ponderată. Din definiție, suma valorilor este (consecință a definiției, nu o formulă separată din manual): așa afli o valoare necunoscută dintr-o medie dată sau media a două grupe cu mediile și volumele adică
Mediana
Se ordonează valorile crescător. Pentru n impar, mediana este termenul din mijloc, de rang 2n+1; pentru n par, este media aritmetică a celor doi termeni centrali, de rang 2n și Ea nu este neapărat una dintre valorile seriei. La o serie pe variante, manualul dă o regulă scurtă: se iau frecvențele absolute cumulate, iar prima frecvență cumulată mai mare decât arată varianta care este mediana. Regula nu coincide întotdeauna cu definiția de mai sus: pentru mediana este (rangul dar regula dă iar la par, când cele două ranguri centrale cad în variante diferite, ea dă o singură variantă, nu media lor. Aici mediana se află după definiție, din rangurile centrale; frecvențele cumulate arată doar în ce variantă cade fiecare rang. Mediana pentru date grupate pe intervale nu este tratată aici.
Modul
Modul (dominanta) este valoarea cu cea mai mare frecvență, nu frecvența însăși. O serie poate avea două valori modale (bimodală), iar când toate variantele au aceeași frecvență nu are mod. La date pe intervale se află întâi intervalul modal, apoi
Mo=xinf+h⋅(n2′−n1′)+(n2′−n3′)n2′−n1′,cu limita de jos a intervalului modal, lungimea lui, iar frecvențele intervalului dinaintea celui modal, modal și de după el.
Ce spune fiecare mărime
Media poate ascunde realitatea: valorile 2;3;3;4;40 au media 10,4, dar mediana 3. De aceea mediana și modul completează media.
La examen
În subiectele BAC 2022–2026 din colecția noastră, tema apare doar la profilul umanist (itemul 14: media aritmetică, mediana și o valoare necunoscută dintr-o medie dată); la profilul real nu s-a găsit niciun item pe ea.
