Matematica, BAC · Profil real · Analiză matematică · Funcții numerice

Funcția exponențială și funcția logaritmică: grafic, proprietăți, monotonie

Funcția exponențială și cea logaritmică: definiție, grafic, proprietăți și monotonie, pentru profilul real la BAC. Ai regulile din manual, un exemplu BAC și itemi din lucrările reale 2023–2026 în care ele se aplică la ecuații și inecuații.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Desene și scheme
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Pentru profilul real, programa de bacalaureat cere funcția exponențială, graficul ei și proprietățile ei, apoi funcția logaritmică, graficul ei și proprietățile ei. Ecuațiile și inecuațiile exponențiale și logaritmice stau în altă unitate a programei (numerotată tot X.5, «Ecuații. Inecuații. Sisteme și totalități»); aici înveți funcțiile pe care ele se sprijină.

Funcția exponențială
Funcția exponențială de bază $a$ este $f:\mathbb{R}\to(0;+\infty)$ , $f(x)=a^x$ , cu $a>0$ și $a\ne1$ . Necunoscuta stă în exponent: $2^x$ și $\left(\dfrac13\right)^x$ sunt exponențiale. Baza $a=1$ nu se folosește: $1^x=1$ dă o funcție constantă, cu alte proprietăți.

Proprietățile ei:

$D(f)=\mathbb{R}$ și $E(f)=(0;+\infty)$ : puterea $a^x$ este pozitivă pentru orice deci graficul stă numai deasupra axei

Funcția logaritmică
Exponențiala cu baza $a$ este inversabilă, iar inversa ei este funcția logaritmică: $y=\log_a x\Leftrightarrow a^y=x$ , cu Deci Majoritatea proprietăților ei decurg din cele ale exponențialei: domeniul și mulțimea valorilor își schimbă locurile.

$D(f)=(0;+\infty)$ și $E(f)=\mathbb{R}$ ; de aceea argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv.
Se anulează numai pentru $x=1$ , deci graficul trece prin Axa nu o întâlnește, căci

Graficele lui $a^x$ și $\log_a x$ sunt simetrice față de dreapta $y=x$ , bisectoarea cadranelor I și III, ca ale oricărei perechi de funcții inverse.

	$a^x$	$\log_a x$
Domeniul	$\mathbb{R}$	$(0;+\infty)$

Monotonia în lucru
Fiind strict monotone, ambele funcții transformă o comparație de valori într-o comparație de exponenți sau de argumente (la logaritm, $\alpha,\beta>0$ ):

$a>1$ : $a^\alpha>a^\beta\Leftrightarrow\alpha>\beta$ și sensul inegalității se păstrează.

Două puteri cu aceeași bază se compară prin exponenți: $5^{\sqrt3}>5^{\sqrt{2{,}5}}$ , fiindcă și Doi logaritmi cu baze diferite se aduc întâi la aceeași bază (așa se compară cu iar când semnele diferă, se compară cu O putere se compară cu privind-o ca valoare a exponențialei într-un punct pentru baza subunitară și valoarea este mai mică decât de exemplu

Mulțimea valorilor se deplasează odată cu graficul: $E(a^x+c)=(c;+\infty)$ . La $\log_a u(x)$ afli întâi ce valori ia apoi aplici funcția monotonă. Dacă baza conține necunoscuta (programa are inecuații ea trebuie să fie pozitivă și diferită de iar inecuația se rezolvă separat pentru baza mai mare decât și pentru baza din

Aplicații
O mărime care crește cu $b\%$ pe perioadă urmează $y=a\left(1+\dfrac{b}{100}\right)^x$ , iar una care scade cu urmează aici este valoarea inițială, iar perioada de timp.

Înainte să scrii răspunsul
Verifică trei lucruri: baza ( $a>0$ , $a\ne1$ ), argumentul logaritmului ( $>0$ ) și sensul inegalității după baza $>1$ sau

Funcția exponențială și funcția logaritmică: grafic, proprietăți, monotonie

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Desene și scheme

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină