Matematica, BAC · Profil real · Analiză matematică · Funcții numerice

Funcția putere și funcția radical: definiție, grafic, proprietăți

Funcția putere și funcția radical din programa de BAC, profil real: definiția, graficul și proprietățile (domeniu, paritate, monotonie, inversă). Pagina cuprinde regulile din manuale, un exemplu de nivel BAC și itemi din lucrările reale.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Desene și scheme
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
La profilul real, programa de BAC (X.5) cere pentru funcția putere și pentru funcția radical câte trei lucruri: funcția, graficul și proprietățile. Pagina le adună pe amândouă și arată cum se folosesc la lucrare: domeniul, paritatea, monotonia, valorile și inversa. Programa (X.2) limitează calculul cu radicali la ordinul $2$ și $3$ ; manualul definește însă funcția radical pentru orice ordin, iar tabelul de mai jos urmează manualul.

Funcția radical
Radicalul de ordin impar există pentru orice număr real, cel de ordin par numai pentru numere nenegative. De aceea sunt două funcții radical, cu $n\in\mathbb{N}^*$ :

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\sqrt[2n+1]{x}$ (ordin impar), de exemplu $\sqrt[3]{x}$ ;
$g\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ , $g(x)=\sqrt[2n]{x}$ (ordin par), de exemplu

Proprietate	$f$ , ordin impar	$g$ , ordin par
domeniul	$\mathbb{R}$	$[0;+\infty)$
zeroul	unic, $x=0$

Graficul lui $\sqrt{x}$ este o curbă din cadranul I, care pornește din origine; graficul lui $f$ trece prin origine și, după semn, se află în cadranul III pentru $x<0$ și în cadranul I pentru $x>0$ . Manualul deduce monotonia din proprietatea radicalilor: dacă atunci Pentru ordin impar valorile negative se reduc la aceasta prin imparitate: dacă atunci deci adică Mai ține minte că nu

Funcția putere cu exponent real
Manualul clasei a X-a o definește pe $(0;+\infty)$ : $f(x)=x^\alpha$ , $\alpha\in\mathbb{R}^*$ . Domeniul este baza trebuie să fie pozitivă, altfel puterea nu se poate defini pentru orice exponent real.

Pentru $\alpha>0$ funcția este strict crescătoare, pentru $\alpha<0$ strict descrescătoare, pe tot domeniul.
Nu este nici pară, nici impară, nu este periodică și nu are extreme locale.
Graficul are una din trei forme, după cum $\alpha<0$ , $0<\alpha<1$ sau (vezi figura); pentru este semidreapta

Atenție: $x^{1/n}$ cu $n$ impar și $\sqrt[n]{x}$ nu sunt aceeași funcție, fiindcă prima e definită pe iar a doua pe

Exponent întreg
Cazurile uzuale sunt $x^2$ , $x^3$ , $x^4$ , $x^5$ și Manualul clasei a XI-a le tratează separat: cu natural este definită pe iar pe Ambele domenii sunt simetrice față de origine, deci paritatea se află din definiție, comparând cu calculul dă o funcție pară pentru par și impară pentru impar (este un calcul din definiția parității, nu o regulă citată din manual).

Funcția $\dfrac{k}{x}$ , $k\ne0$ (proporționalitatea inversă), are ca grafic o hiperbolă cu două ramuri: în cadranele I și III pentru $k>0$ , în II și IV pentru Este impară. Pentru este strict descrescătoare pe și pe fiecare interval luat separat, dar nu pe întreg.

Cum lucrezi cu ele

1)Domeniul. Sub radicalul de ordin par expresia trebuie să fie $\ge0$ (nu $>0$ : radicalul din $0$ există). Sub radicalul de ordin impar nu apare nicio condiție. Dacă sub radical este un trinom, condiția se rezolvă ca o inecuație de gradul II. La $x^\alpha$ cu $\alpha$ real baza este pozitivă.

Funcția putere și funcția radical: definiție, grafic, proprietăți

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Desene și scheme

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină