Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Числовые функции

Показательная и логарифмическая функции: график, свойства, монотонность

Показательная и логарифмическая функции: определение, график, свойства и монотонность, для реального профиля на BAC. Здесь правила из учебника, пример уровня BAC и задания из реальных работ 2023–2026 годов, где эти свойства применяются.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Для реального профиля программа BAC требует показательную функцию, её график и свойства, затем логарифмическую функцию, её график и свойства. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства стоят в другом разделе программы (он тоже имеет номер X.5, «Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности»); здесь изучаются функции, на которых они держатся.

Показательная функция
Показательная функция с основанием $a$ — это $f:\mathbb{R}\to(0;+\infty)$ , $f(x)=a^x$ , где $a>0$ и $a\ne1$ . Переменная стоит в показателе: $2^x$ и $\left(\dfrac13\right)^x$ показательные. Основание $a=1$ не берут: $1^x=1$ даёт постоянную функцию с другими свойствами.

Её свойства:

$D(f)=\mathbb{R}$ и $E(f)=(0;+\infty)$ : степень $a^x$ положительна при любом поэтому график лежит только выше оси

Логарифмическая функция
Показательная функция с основанием $a$ обратима, и обратная к ней называется логарифмической: $y=\log_a x\Leftrightarrow a^y=x$ , где Значит, Большинство её свойств следует из свойств показательной функции: область определения и множество значений меняются местами.

$D(f)=(0;+\infty)$ и $E(f)=\mathbb{R}$ ; поэтому аргумент логарифма обязан быть строго положительным.
Обращается в нуль только при $x=1$ , так что график проходит через Ось он не встречает, ведь

Графики $a^x$ и $\log_a x$ симметричны относительно прямой $y=x$ , биссектрисы I и III четвертей, как графики любой пары взаимно обратных функций.

	$a^x$	$\log_a x$
Область определения	$\mathbb{R}$	$(0;+\infty)$

Монотонность в деле
Из строгой монотонности обеих функций сравнение значений превращается в сравнение показателей или аргументов (для логарифма $\alpha,\beta>0$ ):

$a>1$ : $a^\alpha>a^\beta\Leftrightarrow\alpha>\beta$ и знак неравенства сохраняется.

Две степени с одним основанием сравнивают по показателям: $5^{\sqrt3}>5^{\sqrt{2{,}5}}$ , так как и Два логарифма с разными основаниями сначала приводят к одному основанию (так сравнивают и а если знаки разные, их сравнивают с Степень сравнивают с рассматривая её как значение показательной функции в точке при основании меньше и значение меньше например

Множество значений сдвигается вместе с графиком: $E(a^x+c)=(c;+\infty)$ . Для $\log_a u(x)$ сначала находят, какие значения принимает затем применяют монотонную функцию. Если основание содержит неизвестное (в программе есть неравенства оно должно быть положительным и отличным от а неравенство решают отдельно для основания больше и для основания из

Применение
Величина, растущая на $b\%$ за период, следует закону $y=a\left(1+\dfrac{b}{100}\right)^x$ , а убывающая на — закону здесь — начальное значение, а — период времени.

Перед ответом
Проверь три вещи: основание ( $a>0$ , $a\ne1$ ), аргумент логарифма ( $>0$ ) и знак неравенства в зависимости от основания ( $>1$ или

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: EducatieOnlineRu · YouTube

О чём: Определение показательной функции и примеры, её свойства (область определения, множество значений, нет нулей, точка (0;1), не чётна и не нечётна, не периодична, монотонность в зависимости от основания, нет локальных экстремумов), графики для разных оснований, примеры на множество значений и на сравнение степеней, построение графика 2^(−x)+1 по точкам, применения (температура воды в чайнике, рост древесины, рост бактерий). Урок для 10 класса (учитель Евгения Лунгу), записан для 2020/21 учебного года; обозначения могут отличаться от учебника 2025 года. Содержание проверено по автоматическим субтитрам.

Канал: EducatieOnlineRu · YouTube

О чём: Определение логарифмической функции, связь с показательной как взаимно обратных функций, свойства (область определения, множество значений, нуль функции, не чётна и не нечётна, монотонность в зависимости от основания, нет локальных экстремумов), графики для двух случаев основания, примеры на область определения и на сравнение логарифмов (в том числе с 0 и с 1), график log₂(x+3), применения. Урок для 10 класса (учитель Евгения Лунгу), записан для 2020/21 учебного года; обозначения могут отличаться от учебника 2025 года. Содержание проверено по автоматическим субтитрам.

Показательная и логарифмическая функции: график, свойства, монотонность

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу