Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Числовые функции

Степенная функция и функция радикал: определение, график, свойства

Степенная функция и функция радикал для реального профиля BAC: определение, график, свойства, обратная функция. Правила из учебников, пример уровня BAC и задания из настоящих работ.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Для реального профиля программа BAC (X.5) требует по степенной функции и по функции радикал три вещи: понятие, график и свойства. Страница собирает обе функции и показывает, как они работают в задачах: область определения, чётность, монотонность, значения и обратная функция. Программа (X.2) ограничивает вычисления с корнями степени $2$ и $3$ ; учебник же определяет функцию радикал для любой степени, и таблица ниже следует учебнику.

Функция радикал
Корень нечётной степени существует для любого действительного числа, корень чётной степени — только для неотрицательных. Поэтому функций радикал две, $n\in\mathbb{N}^*$ :

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\sqrt[2n+1]{x}$ (нечётная степень), например $\sqrt[3]{x}$ ;
$g\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ , $g(x)=\sqrt[2n]{x}$ (чётная степень), например

Свойство	$f$ , нечётная степень	$g$ , чётная степень
область определения	$\mathbb{R}$	$[0;+\infty)$
нуль	единственный, $x=0$

График $\sqrt{x}$ — кривая в первой четверти, выходящая из начала координат; график $f$ проходит через начало координат и по знаку лежит в третьей четверти при $x<0$ и в первой при $x>0$ . Учебник выводит монотонность из свойства радикалов: если то Для нечётной степени отрицательные значения сводятся к этому по нечётности: если то значит, то есть Помнить и о том, что а не

Степенная функция с действительным показателем
Учебник 10 класса определяет её на $(0;+\infty)$ : $f(x)=x^\alpha$ , $\alpha\in\mathbb{R}^*$ . Область определения — основание должно быть положительным, иначе степень нельзя определить для любого действительного показателя.

При $\alpha>0$ функция строго возрастает, при $\alpha<0$ строго убывает на всей области определения.
Она не является ни чётной, ни нечётной, не периодична и не имеет локальных экстремумов.
График имеет один из трёх видов, в зависимости от того, $\alpha<0$ , $0<\alpha<1$ или (см. рисунок); при это луч

Внимание: $x^{1/n}$ при нечётном $n$ и $\sqrt[n]{x}$ — не одна и та же функция: первая определена на вторая на

Целый показатель
Обычные случаи — $x^2$ , $x^3$ , $x^4$ , $x^5$ и Учебник 11 класса рассматривает их отдельно: при натуральном определена на а — на Обе области симметричны относительно нуля, поэтому чётность выясняется по определению, сравнением с вычисление даёт чётную функцию при чётном и нечётную при нечётном (это вычисление по определению чётности, а не правило из учебника).

Функция $\dfrac{k}{x}$ , $k\ne0$ (обратная пропорциональность), имеет графиком гиперболу из двух ветвей: в I и III четвертях при $k>0$ , во II и IV при Она нечётна. При она строго убывает на и на каждый промежуток берётся отдельно, но не на всём

Как с ними работать

1)Область определения. Под корнем чётной степени выражение должно быть $\ge0$ (не $>0$ : корень из $0$ существует). Под корнем нечётной степени условий нет. Если под корнем трёхчлен, условие решают как квадратное неравенство. У $x^\alpha$ с действительным $\alpha$ основание положительно.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: EducatieOnlineRu · YouTube

О чём: Вся часть про функцию радикал: два вида (нечётная и чётная степень), область определения, множество значений, нуль, чётность, периодичность, монотонность, отсутствие экстремумов, график, сравнение чисел и построение графика по точкам. Урок Educație Online для 10 класса, 2020/21 учебный год; обозначения могут отличаться от учебника 2025 года.

Канал: EducatieOnlineRu · YouTube

О чём: Вся часть про степенную функцию с действительным показателем: определение, область определения (0; +∞), монотонность в зависимости от знака α, три вида графика и сравнение степеней по монотонности. Урок Educație Online для 10 класса, 2020/21 учебный год; обозначения могут отличаться от учебника 2025 года.

Канал: TVR · YouTube

О чём: Урок на румынском (по программе Румынии). Обозначения могут отличаться от нашего учебника. Из описания: степенная функция с натуральным показателем и функция радикал. По автосубтитрам: натуральный чётный и нечётный показатель и целый отрицательный показатель (монотонность на каждом промежутке отдельно, а не на всей области определения), затем, примерно с 14-й минуты, степенная функция на (0; +∞) с показателем больше 1, между 0 и 1 (около 17-й минуты) и отрицательным (около 18-й минуты), а функция радикал — с 19-й минуты. Урок допускает 0 в области определения степени с положительным показателем, в отличие от нашего учебника. Минуты приблизительные.

Степенная функция и функция радикал: определение, график, свойства

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу