Funcția putere, radical, proporționalitatea inversă: profil umanist
Funcția putere, funcția radical și proporționalitatea inversă la BAC, profilul umanist: definiții, grafice, domeniu și proprietăți. Pagina arată ce cere programa umanistă și ce greșeli costă puncte la itemii despre funcții.
Noțiunea de funcţie putere. Graficul funcției putere.
Proprietăți ale funcției putere.
Proporționalitatea inversă. Proprietăți.
Noțiunea de funcţie radical.
Graficul funcției radical. Proprietăți ale funcției radical.
Aplicații ale funcției putere, ale funcției radical și ale proporționalității inverse în diverse domenii: viață cotidiană, fizică, tehnică, chimie, biologie, arte, tehnologii, construcții.
Ce cere programa la profilul umanist Pagina este pentru lucrarea de BAC la matematică, profilul umanist (programa „Profil umanist”), unitatea X.3 „Funcții”. Programa numește trei teme: funcția putere (noțiune, grafic, proprietăți), proporționalitatea inversă (proprietăți) și funcția radical (noțiune, grafic, proprietăți). Proprietățile se deduc prin lectură grafică și/sau analitică, adică din desen sau din formulă. La calcule programa ia radicali de ordinul 2 și 3, de aceea pagina lucrează cu x și 3x; manualul clasei a X-a definește funcția radical pentru orice ordin, 2n sau 2n+1, și îi dă proprietățile pe aceste două tipuri.
Funcția radical f(x)=x Se definește numai pentru x≥0: radicalul de ordin par se ia dintr-un număr nenegativ. Deci D(f)=[0;+∞). Graficul este o curbă din cadranul I și trece prin origine, fiindcă (figura 2, stânga).
Singurul zerou este x=0.
Nu are valori negative; orice y≥0 este valoarea funcției în x=y2, deci E(f)=[0;+∞).
Dacă adaugi o constantă, din x≥0 rezultă x+c≥c (aduni la ambii membri), iar ia toate valorile din pentru pe avem La condiția de existență este deci domeniul este
Funcția radical de ordinul 3, f(x)=3x Rădăcina cubică există pentru orice număr real: D(f)=R, de exemplu Zerou unic funcția este pozitivă pe și negativă pe Este impară, adică și strict crescătoare pe (figura 2, dreapta).
**Funcția putere f(x)=xα,α∈R∗** Se definește pe (0;+∞): baza trebuie să fie pozitivă, altfel o putere ca nu ar exista pentru
Dacă α>0, este strict crescătoare; dacă α<0, este strict descrescătoare.
Nu este nici pară, nici impară, nu este periodică și nu are extreme locale.
Graficul are una dintre trei forme: α<0,0<α<1 sau
Monotonia ajută la comparări: la același exponent α<0, numărul mai mic dă puterea mai mare. Atenție la domeniu: x1/3 (funcție putere, D=(0;+∞)) și 3x ( sunt funcții diferite.
Proporționalitatea inversă f(x)=xk Două mărimi sunt invers proporționale când produsul lor rămâne același: x⋅y=k, cu (dacă una se dublează, cealaltă se înjumătățește). Funcția are ca grafic o hiperbolă cu două ramuri (figura 1).
Pentru k>0 ramurile sunt în cadranele I și III; pentru k<0, în II și IV.
Nu are zerouri, iar graficul nu taie nici axa Ox, nici axa Oy.
Pentru k>0 este pozitivă pe și negativă pe
Cum le folosești la examen (metoda paginii, pe baza itemilor din probe)
Scrie întâi domeniul: x=0 la xk, expresia de sub un radical de ordin par ≥0.
Desene și scheme
Hiperbola y = k/x: la k > 0 ramurile sunt în cadranele I și III, la k < 0 în II și IV. Graficul nu atinge nici axa Ox, nici axa Oy.
Definiția funcției xk, graficul (hiperbola), semnul, monotonia pe intervale și simetria față de origine, cu exerciții; lecție de clasa a VIII-a, aceeași definiție ca în manualul clasei a IX-a.
Un caz al funcției putere cu exponent natural, x3 pe R: grafic, zerou, semn, simetrie. Este altă funcție decât xα de pe (0;+∞) din manualul clasei a X-a; Educație Online nu are lecție de clasa a X-a despre xα sau 3x.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
21 de cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Manual · Ion Achiri, Petru Efros, Valentin Garit, Nicolae Prodan · 2025 · p. 25, 27, 93, 128–129 (modulul 3 §1; modulul 6 §2; modulul 7, §3.1–3.3) · în română
FREIGHT PATH SRL · IDNO 1026600014400 · MD-2002, Republica Moldova, mun. Chișinău, sect. Botanica, bd. Decebal 6 · nota10contact.md@gmail.com
3-D Secure
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
0=0
Este strict crescătoare pe [0;+∞).
Nu are paritate: 1 aparține domeniului, dar −1 nu, deci domeniul nu este simetric față de origine.
c
x
[0;+∞):
f(x)=x+c
[0;+∞)
E(f)=[c;+∞).
x−a
x−a≥0,
[a;+∞).
3−8=−2.
x=0;
(0;+∞)
(−∞;0).
f(−x)=−f(x),
R
x1/2
x<0.
α>1.
D=R)
k=0
f:R∗→R∗,
f(x)=xk,
k=0,
(0;+∞)
(−∞;0).
Pentru k>0 este strict descrescătoare pe (−∞;0) și pe (0;+∞), nu pe R∗ întreg. Pentru k<0 manualul spune doar „strict crescătoare” și lasă intervalele de completat; ele sunt aceleași două intervale, luate separat.
f(−x)=−f(x): funcția este impară, hiperbola este simetrică față de origine.
Un punct aparține graficului când coordonatele lui verifică formula: înlocuiești abscisa în f și compari rezultatul cu ordonata. Dacă la numitor apare un radical, îl elimini prin raționalizare.
La o inecuație cu xk judeci după semnul lui x: la înmulțirea cu un număr negativ sensul inegalității se schimbă. Când x nu are semn dat, tratezi separat x>0 și x<0.
Sfat: scrie mulțimile de valori și de definiție ca intervale și lasă răspunsul exact, fără să rotunjești 2.
