Funcția de gradul II la profilul umanist: vârf, zerouri, semn, extreme
Funcția de gradul II la BAC, profilul umanist: graficul, vârful parabolei, zerourile, semnul, monotonia, extremele și mulțimea valorilor. Aici ai regulile programei, un exemplu rezolvat și greșelile care costă puncte.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa la profilul umanist Pagina este pentru lucrarea de BAC la matematică, profilul umanist, unitatea X.3 „Funcții”. Programa cere noțiunea de funcție de gradul II, graficul ei și proprietățile: zerouri, monotonie, semn, extreme. Proprietățile se deduc din desen sau din formulă, deci trebuie să știi ambele căi. Totul se rezolvă cu formulele de mai jos.
Definiția și graficul O funcție de gradul II are forma f:R→R,f(x)=ax2+bx+c, cu a=0. Graficul ei este o parabolă. Cel mai simplu caz este f(x)=ax2: vârful este în origine, ramurile merg în sus pentru a>0 și în jos pentru a<0. Graficul lui ax2+bx+c are aceeași formă și iese din parabola y=ax2 prin două translații: una de-a lungul lui Ox cu −2ab și una de-a lungul lui Oy cu −4aΔ.
Discriminantul și forma canonică Δ=b2−4ac este discriminantul ecuației asociate ax2+bx+c=0. Cu el, funcția se scrie în forma canonică De aici se vede de ce vârful are coordonatele de mai jos: pătratul este cel mai mic (zero) exact în
Vârful și axa de simetrie
abscisa vârfului: x0=−2ab;
ordonata vârfului: y0=f(x0) sau
Pe y0 îl calculezi mai sigur prin f(x0). Din y0=−4aΔ rezultă și că vârful stă pe axa exact când
Extreme, valori, monotonie
a>0
a<0
ramurile
în sus
în jos
extremul
minim, f(x0)=−4aΔ
Intervalele de monotonie se întâlnesc în x0 și îl conțin pe amândouă.
Zerourile Zerourile funcției sunt soluțiile reale ale ecuației ax2+bx+c=0, deci numărul lor îl dă Δ:
Δ>0: două zerouri, x1,2=2a−b∓Δ, iar graficul taie în două puncte;
Graficul taie axa Oy în punctul (0;f(0)), iar înlocuind x=0 în ax2+bx+c se vede că
Semnul funcției
Δ<0: semnul lui a pentru orice x;
Δ=0: semnul lui a pentru orice x=x0 (în funcția este
Așa se rezolvă și inecuațiile de gradul II: manualul clasei a X-a le citește din semnul funcției. La „≥” manualul adaugă zerourile la soluțiile lui „>” (la „≤” la fel, față de „<”), deci zerourile intră în soluție la „≥” și „≤” și nu intră la „ și „
Cum trasezi graficul
1)Află zerourile (rezolvă ecuația asociată) și f(0).
2)Calculează vârful și axa de simetrie.
3)Completează un tabel cu aceste abscise și, la nevoie, cu alte valori.
4)Unește punctele într-o parabolă cu ramurile după semnul lui a.
Aplicații Funcția de gradul II descrie înălțimea unui corp aruncat în sus, un salt, un arc de pod. Dacă a<0, înălțimea maximă este chiar y0; întrebarea „cât timp se află peste o anumită înălțime” duce la o inecuație de gradul II.
Ce urmărește lucrarea umanistă În cele șase itemuri BAC 2022–2025 ale paginii se cer coordonatele vârfului, un punct care trebuie să aparțină unui alt grafic, parametri aflați dintr-un vârf dat, mulțimea valorilor E(f), condiția de punct de maxim sau de minim, sau semnul funcției (inecuații, valori întregi, intersecții de mulțimi). Baremele lor plătesc pe etape (abscisa, ordonata, zerourile, intervalul): scrie fiecare etapă.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Semnul lui a și al lui Δ citit din grafic, trasarea unui grafic, probleme cu parametru (zerouri, coeficienți dintr-un vârf dat) și autoevaluare; lecție de clasa a IX-a.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
17 cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
FREIGHT PATH SRL · IDNO 1026600014400 · MD-2002, Republica Moldova, mun. Chișinău, sect. Botanica, bd. Decebal 6 · nota10contact.md@gmail.com
3-D Secure
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
f(x)=a(x+2ab)2−4aΔ.
x=−2ab.
y0=−4aΔ;
axa de simetrie: dreapta x=−2ab.
Ox
Δ=0.
maxim, f(x0)=−4aΔ
E(f)
[−4aΔ;+∞)
(−∞;−4aΔ]
strict descrescătoare
(−∞;x0]
[x0;+∞)
strict crescătoare
[x0;+∞)
(−∞;x0]
Ox
Δ=0: un zerou, x=−2ab, iar graficul are cu Ox un singur punct comun, vârful (x0;0);
Δ<0: niciun zerou, graficul nu intersectează Ox.
f(0)=c.
x0
0);
Δ>0, zerourile x1<x2: semnul lui a în afara zerourilor, pe (−∞;x1)∪(x2;+∞), și semnul opus între ele, pe (x1;x2).
