Степенная функция, радикал и k/x в гуманитарном профиле: графики, свойства
Степенная функция, функция радикал и обратная пропорциональность на BAC, гуманитарный профиль: определения, графики, область определения и свойства. Страница показывает, что требует программа, и какие ошибки стоят баллов.
Что требует программа в гуманитарном профиле Страница написана для работы BAC по математике гуманитарного профиля (программа «Гуманитарный профиль»), раздел X.3 «Функции». Программа называет три темы: степенная функция (понятие, график, свойства), обратная пропорциональность (свойства) и функция радикал (понятие, график, свойства). Свойства нужно выводить по графику и/или по формуле. В вычислениях программа берёт корни 2-й и 3-й степени, поэтому страница работает с x и 3x; учебник 10 класса определяет функцию радикал для любой степени, 2n или 2n+1, и даёт свойства для этих двух типов.
Функция радикал f(x)=x Определена только при x≥0: корень чётной степени берут из неотрицательного числа. Значит, D(f)=[0;+∞). График — кривая в I четверти, проходит через начало координат, потому что (рисунок 2, слева).
Единственный нуль: x=0.
Отрицательных значений нет; любое y≥0 является значением функции при x=y2, поэтому E(f)=[0;+∞).
Если прибавить постоянную, из x≥0 следует x+c≥c (к обеим частям прибавляют а принимает все значения из для на получаем У условие существования значит, область определения
Функция радикал третьей степени, f(x)=3x Кубический корень существует для любого действительного числа: D(f)=R, например Единственный нуль функция положительна на и отрицательна на Она нечётная, то есть и строго возрастает на (рисунок 2, справа).
**Степенная функция f(x)=xα,α∈R∗** Задана на (0;+∞): основание должно быть положительным, иначе степень вроде не существовала бы при
При α>0 строго возрастает, при α<0 строго убывает.
Не чётная и не нечётная, не периодическая, локальных экстремумов нет.
График бывает трёх видов: α<0,0<α<1 или
Монотонность помогает сравнивать: при одном и том же показателе α<0 меньшее число даёт большую степень. Следите за областью определения: x1/3 (степенная функция, D=(0;+∞)) и 3x ( — разные функции.
Обратная пропорциональность f(x)=xk Две величины обратно пропорциональны, когда их произведение остаётся одним и тем же: x⋅y=k, где (одна вдвое больше, другая вдвое меньше). Функция имеет графиком гиперболу из двух ветвей (рисунок 1).
При k>0 ветви в I и III четвертях, при k<0 — во II и IV.
Нулей нет, график не пересекает ни ось Ox, ни ось Oy.
При k>0 функция положительна на и отрицательна на
Как применять на экзамене (метод страницы, по заданиям из работ)
Сначала запишите область определения: x=0 у xk, выражение под корнем чётной степени ≥0.
Чертежи и схемы
Гипербола y = k/x: при k > 0 ветви в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. График не касается ни оси Ox, ни оси Oy.
Функции радикал: √x определена на [0; +∞) и не принимает отрицательных значений; ∛x определена на ℝ и принимает и отрицательные значения. Масштабы на осях разные.
Функции радикал чётной и нечётной степени: определение, области определения, свойства, график и примеры; урок Евгении Лунгу к модулю 7 учебника 10 класса.
Степенная функция с действительным показателем: определение, область определения, монотонность, графики при α<0,0<α<1,α>1; продолжение предыдущего урока.
Функция xk: определение, гипербола, свойства при k>0 и k<0 (нули, знак, монотонность на промежутках), построение графика и задача на нахождение k; урок 8 класса, то же определение, что в учебнике 9 класса.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
21 карточка с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
0=0
Строго возрастает на [0;+∞).
Чётности нет: 1 входит в область определения, а −1 нет, значит область не симметрична относительно начала координат.
c),
x
[0;+∞):
f(x)=x+c
[0;+∞)
E(f)=[c;+∞).
x−a
x−a≥0,
[a;+∞).
3−8=−2.
x=0;
(0;+∞)
(−∞;0).
f(−x)=−f(x),
R
x1/2
x<0.
α>1.
D=R)
k=0
f:R∗→R∗,
f(x)=xk,
k=0,
(0;+∞)
(−∞;0).
При k>0 она строго убывает на (−∞;0) и на (0;+∞), но не на всём R∗. При k<0 учебник пишет только «строго возрастает» и оставляет промежутки для заполнения; это те же два промежутка, взятые отдельно.
f(−x)=−f(x): функция нечётная, гипербола симметрична относительно начала координат.
Точка принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют формуле: подставьте абсциссу в f и сравните результат с ординатой. Если в знаменателе стоит корень, его устраняют, то есть избавляются от иррациональности.
В неравенстве с xk решает знак x: при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется. Если знак x не задан, рассмотрите отдельно x>0 и x<0.
Совет: множества значений и определения записывайте промежутками, ответ оставляйте точным, 2 не округляйте.
