Integrala definită: formula Newton–Leibniz, arii și volume
Integrala definită, tema XII.2 a programei de BAC la matematică pentru profilul real: definiția, proprietățile și formula Newton–Leibniz. Aici ai metodele de calcul, aria figurilor mărginite de grafice și volumul corpului de rotație.
XII.2. Integrala definită. Aplicații
- Noțiunea de integrală definită.
- Proprietăți.
- Formula lui Newton-Leibniz.
- Calculul cu ajutorul integralei definite a ariei unei figuri, determinată prin implicarea a cel mult două funcții studiate.
- Volumul corpului de rotație.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Tema XII.2 face parte din programa de BAC pentru profilul real. Programa numește cinci puncte: noțiunea de integrală definită, proprietățile ei, formula lui Newton-Leibniz, aria unei figuri determinate de cel mult două funcții studiate și volumul corpului de rotație. Integralele se calculează cu proprietățile, cu tabelul de integrale nedefinite și prin două metode: integrarea prin părți și schimbarea de variabilă. Se cere și sensul geometric al integralei unei funcții continue cu valori nenegative.
Definiția și formula Newton–Leibniz Ai o funcție f continuă pe [a,b] și o primitivă F a ei. Diferența F(b)−F(a) este chiar integrala definită de la a la b: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)ab Programa o numește formula lui Newton-Leibniz, manualul de clasa a XII-a — formula Leibniz–Newton; este aceeași egalitate. Calculul are doi pași: afli o primitivă, apoi scazi valoarea ei în a din valoarea ei în b. Ce primitivă alegi nu contează, constanta se reduce la scădere, așa că poți lua C=0.
Nu confunda cele două integrale: ∫f(x)dx este o mulțime de funcții, toate primitivele lui f, iar ∫abf(x)dx este un singur număr real.
Denumiri
a este limita inferioară, b limita superioară; împreună sunt limitele de integrare;
[a,b] este intervalul de integrare;
x este variabila de integrare;
f este funcția de sub semnul de integrare, numită și integrand.
Proprietăți
Proprietatea
Formula
limite egale
∫aaf(x)dx=0
limite inversate
∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
Aditivitatea îți permite să tai intervalul într-un punct c: așa se lucrează cu o funcție dată pe porțiuni și cu una care își schimbă semnul.
Metode de calcul
Integrarea prin părți: ∫abudv=u⋅vab−∫abvdu. Și produsul se evaluează între și
Aria cu integrala definită Subgraficul unei funcții continue f≥0 pe [a,b] este figura mărginită de graficul lui f, de axa Ox și de dreptele x=a,x=b. Aria lui este ∫abf(x)dx: acesta este sensul geometric al integralei. Celelalte cazuri:
dacă f≤0 pe [a,b], figura este sub axă și A=−∫abf(x)dx=∫ab∣f(x)∣dx;
Pentru aria dintre graficul lui f și axa Ox lucrezi în ordinea din manual. Întâi cauți zerourile lui f din [a,b]. Dacă nu există, afli semnul lui f pe tot intervalul și iei integrala cu plus sau cu minus. Dacă găsești un zero c, afli semnul pe [a,c] și pe [c,b] și aduni ariile celor două bucăți.
Punctul în care se întâlnesc două grafice îl afli rezolvând sistemul format din ecuațiile lor: în manual, y=x2 și y=2 dau M(2,2), iar integrala se taie în Când enunțul nu dă dreptele figura se închide chiar în aceste puncte: limitele de integrare sunt zerourile lui (pentru aria cu axa sau abscisele punctelor de intersecție ale graficelor.
Volumul corpului de rotație Când subgraficul funcției continue f≥0 se rotește în jurul axei Ox, se obține un corp de rotație cu volumul V=π∫abf2(x)dxFormula rămâne valabilă și pentru negativă, fiindcă sub integrală stă pătratul. Exemplul din manual: subgraficul lui pe rotit în jurul lui dă corpul sferic de rază iar integrala dă volumul lui,
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Manual · Ion Achiri, Vasile Ciobanu, Petru Efros, Valentin Garit, Vasile Neagu, Andrei Poștaru, Nicolae Prodan, Dumitru Taragan, Anatol Topală · 2023 · p. 25–26, 28, 35, 38–39, 46, 57–59, 62–63 · în română
ctice.md:1443 · accesat la 1 octombrie 2026
Cine răspunde de pagină
Textul a fost pregătit cu ajutorul AI. Fiecare fapt din el a fost verificat de trei ori cu sursele de mai sus. Un profesor nu l-a citit încă.
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
liniaritate
∫ab(λf+μg)dx=λ∫abfdx+μ∫abgdx
aditivitate, a≤c≤b
∫abfdx=∫acfdx+∫cbfdx
semnul, a≤b
dacă f≥0 pe [a,b], atunci ∫abfdx≥0
monotonia, a≤b
dacă f≤g pe [a,b], atunci ∫abfdx≤∫abgdx
u⋅v
a
b.
Schimbarea de variabilă: ∫abf(φ(x))φ′(x)dx=∫φ(a)φ(b)f(t)dt. Odată cu variabila se schimbă și limitele: noile limite sunt φ(a) și φ(b).
între graficele lui f și g, cu g≤f pe [a,b]:A=∫ab(f(x)−g(x))dx, și când una dintre funcții sau amândouă sunt negative;
dacă nu știi care grafic este deasupra: A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx.
