Определённый интеграл: формула Ньютона–Лейбница, площади, объёмы
Определённый интеграл — тема XII.2 программы бакалавриата по математике для реального профиля: определение, свойства, формула Ньютона–Лейбница. Здесь методы вычисления, площадь фигур между графиками и объём тела вращения.
XII.2. Определённый интеграл. Приложения.
- Понятие определённый интеграл.
- Свойства.
- Формула Ньютона-Лейбница.
- Вычисление площадей фигур, описанных с использованием не более двых изученных функций, используя определённый интеграл.
- Объём тела вращения.
Что требует программа Тема XII.2 входит в программу бакалавриата для реального профиля. Программа называет пять пунктов: понятие определённого интеграла, его свойства, формулу Ньютона-Лейбница, площадь фигуры, заданной не более чем двумя изученными функциями, и объём тела вращения. Интегралы вычисляют с помощью свойств, таблицы неопределённых интегралов и двух методов: интегрирования по частям и замены переменной. Нужен и геометрический смысл интеграла неотрицательной непрерывной функции.
Определение и формула Ньютона–Лейбница Возьми непрерывную на [a,b] функцию f и любую её первообразную F. Разность F(b)−F(a) и есть определённый интеграл от a до b: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)ab Вычисление идёт в два шага: находишь первообразную, затем вычитаешь её значение в a из значения в b. Какую первообразную взять, неважно: постоянная при вычитании сокращается, поэтому можно брать C=0.
Не путай два интеграла: ∫f(x)dx — множество функций, все первообразные f, а ∫abf(x)dx — одно действительное число.
Названия
a — нижний предел, b — верхний предел; вместе это пределы интегрирования;
[a,b] — промежуток интегрирования;
x — переменная интегрирования;
f — подынтегральная функция.
Свойства
Свойство
Формула
равные пределы
∫aaf(x)dx=0
пределы переставлены
∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
Аддитивность позволяет разрезать промежуток в точке c: так считают интеграл от функции, заданной по частям, и от функции, которая меняет знак.
Методы вычисления
Интегрирование по частям: ∫abudv=u⋅vab−∫abvdu. Произведение тоже берётся в пределах от до
Площадь через определённый интеграл Подграфик непрерывной функции f≥0 на [a,b] (его ещё называют криволинейной трапецией) — это фигура, ограниченная графиком f, осью Ox и прямыми x=a,x=b. Его площадь равна ∫abf(x)dx: в этом геометрический смысл интеграла. Остальные случаи:
если f≤0 на [a,b], фигура лежит под осью и A=−∫abf(x)dx=∫ab∣f(x)∣dx;
Площадь между графиком f и осью Ox находят в порядке, который даёт учебник. Сначала ищешь нули f на [a,b]. Если их нет, определи знак f на всём промежутке и возьми интеграл со знаком плюс или минус. Если есть нуль c, определи знак на [a,c] и на [c,b] и сложи площади двух частей.
Точку, где встречаются два графика, находят, решая систему из их уравнений: в учебнике y=x2 и y=2 дают M(2,2), и интеграл разрезают в точке Когда прямые в условии не даны, фигура замыкается именно в таких точках: пределы интегрирования — нули (для площади с осью или абсциссы точек пересечения графиков.
Объём тела вращения При вращении подграфика непрерывной функции f≥0 вокруг оси Ox получается тело вращения объёмом V=π∫abf2(x)dxФормула верна и для отрицательной потому что под интегралом стоит квадрат. Пример из учебника: подграфик на вращаясь вокруг даёт шар радиуса и интеграл даёт его объём
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Урок подготовки к BAC для школ с русским языком обучения. Фрагмент с 48-й минуты до конца: формула Ньютона–Лейбница, вычисление определённого интеграла и площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций. Раньше в уроке — производная и первообразная, это другие темы.
О чём: Фрагмент с 18-й по 32-ю минуту: площадь криволинейной трапеции, понятие определённого интеграла, формула Ньютона–Лейбница и свойства определённого интеграла. До 18-й минуты — первообразная и правила интегрирования.
О чём: Первые 8 минут: объём тела вращения, вычисленный с помощью определённого интеграла. Дальше — объём части шара и площадь поверхности вращения, этого в программе нет.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
15 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Учебник · Ион Акири, Валентин Гарит, Петру Ефрос и др.; перевод с румынского Иона Акири · 2023 · с. 25–26, 28, 35, 38–39, 46, 57–59, 62–63 · на русском
ctice.md:1443 · открыто 1 октября 2026 г.
Кто отвечает за страницу
Текст подготовлен с помощью ИИ. Каждый факт в нём трижды сверен с источниками выше. Учитель его пока не читал.
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
линейность
∫ab(λf+μg)dx=λ∫abfdx+μ∫abgdx
аддитивность, a≤c≤b
∫abfdx=∫acfdx+∫cbfdx
знак, a≤b
если f≥0 на [a,b], то ∫abfdx≥0
монотонность, a≤b
если f≤g на [a,b], то ∫abfdx≤∫abgdx
u⋅v
a
b.
Замена переменной: ∫abf(φ(x))φ′(x)dx=∫φ(a)φ(b)f(t)dt. Вместе с переменной меняются и пределы: новые пределы — φ(a) и φ(b).
между графиками f и g, где g≤f на [a,b]:A=∫ab(f(x)−g(x))dx, в том числе когда одна или обе функции отрицательны;
если неизвестно, какой график выше: A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx.
