Ce cere programa
La profilul real, unitatea XI.3 a programei de bacalaureat cere teorema lui Fermat, punctele critice și de extrem, studiul funcției cu derivatele de ordinul 1 și 2, reprezentarea grafică, limitele calculate cu regulile lui l'Hospital și problemele de maxim și minim. Printre rezultatele învățării sunt și intervalele de convexitate și concavitate, punctele de inflexiune și extremele globale.
Teorema lui Fermat
Dacă f este derivabilă pe un interval deschis și x0 din el este punct de extrem local, atunci f′(x0)=0: tangenta în (x0;f(x0)) e paralelă cu axa Ox. Reciproca nu e adevărată. Pentru f(x)=x3 avem f′(0)=0, dar 0 nu este punct de extrem. Ecuația f′(x)=0 îți dă doar candidații.
Monotonia
- Pe un interval I, o funcție derivabilă e crescătoare exact atunci când f′(x)≥0 pe I și descrescătoare exact atunci când f′(x)≤0.
- Dacă f′(x)>0 pe e strict crescătoare; dacă strict descrescătoare. Intervalele de monotonie sunt deci intervalele pe care își păstrează semnul.
Puncte critice și extreme locale
x0 este punct de maxim local dacă într-o vecinătate a lui x0 avem f(x)≤f(x0) și punct de minim local dacă f(x0)≤f(x). Abscisele sunt , iar valorile sunt : când se cer punctele, răspunzi cu valori ale lui când se cer extremele, cu valori ale funcției.
Punctele în care f′=0 se numesc critice (sau staționare). Tot critice sunt punctele în care f e continuă, dar nu derivabilă: ∣x∣ nu are derivată în 0, totuși 0 e punctul ei de minim local. Decizia o dă semnul lui f′ în jurul punctului:
| f′ la stânga / la dreapta lui x0 | x0 este |
|---|
| + / − | punct de maxim local |
| − / |
Ordinea lucrului: calculezi f′; rezolvi f′(x)=0 și adaugi punctele în care f nu e derivabilă; afli semnul lui f′ între ele; scrii intervalele de monotonie; numești punctele de extrem și extremele. Totul intră în tabloul de variație: pe prima linie domeniul și punctele critice, pe a doua semnele lui f′, pe ultima săgețile și extremele.
Derivata a doua
- Dacă f′(x0)=0 și f′′(x0)>0, e punct de minim local; dacă de maxim local. Criteriul ajută când semnul lui e greu de studiat.
Extreme globale
Pentru f continuă pe [a;b] și derivabilă pe (a;b): calculezi f(a) și f(b), găsești punctele critice din interior, calculezi f în ele și compari toate valorile. Cea mai mică e minimul global, cea mai mare maximul global. Un extrem local nu e obligatoriu global, iar un minim local poate fi chiar mai mare decât un maxim local. Pe un interval deschis iei, în locul lui f(a) și limitele la capete, iar marginile obținute pot să nu fie atinse.
Regulile lui l'Hospital
Pentru o limită de tip 00 sau ∞∞, dacă f și g sunt derivabile lângă și există limita raportului derivatelor, atunci Derivezi separat numărătorul și numitorul, nu fracția. Regula merge și pentru și se poate aplica de mai multe ori la rând, cât timp rămâne un caz exceptat. Cazurile se aduc întâi la una dintre cele două forme: de exemplu iar limita lui pentru este
Graficul
Studiul are șapte etape: domeniul și intersecțiile cu axele; semnul și simetriile; limitele la capete, continuitatea și asimptotele; derivata întâi; derivata a doua; tabloul de variație; trasarea graficului. Etapa cu derivata a doua se poate omite când calculele sunt prea grele.
Probleme de maxim și minim
Exprimi mărimea cerută ca funcție de o singură variabilă, fixezi domeniul ei din condițiile problemei (o lungime e pozitivă, o tăietură nu depășește foaia) și cauți extremul global pe acel domeniu. Două rezultate din manual: dintre dreptunghiurile cu același perimetru, cea mai mare arie o are pătratul; la cutia fără capac făcută dintr-o foaie de 50 cm pe 80 cm, volumul e maxim pentru înălțimea de 10 cm.
