Matrice și determinanți la profilul umanist: operații, ordinul 2 și 3

Matrice și determinanți la bacalaureatul de profil umanist: operațiile cu matrice și determinantul de ordinul 2 și 3, la nivelul lucrării. Pagina arată calculul pas cu pas și greșelile care costă puncte.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse
Încă 3 părți — în abonament

Ce cere programa

XI.3. Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații liniare
Noțiunea de matrice. Cazuri particulare.
Operații cu matrice. Proprietăți
Noțiunea de determinant de ordinul doi, ordinul trei.
Proprietățile fundamentale necesare pentru calculul determinanților.
Calculul determinanților de ordinul doi, trei.
Aplicații ale matricelor, ale determinanților, ale sistemelor de ecuații în diverse domenii: economie, antreprenoriat, transport (exemple și probleme)

Ce trebuie să știi

Ce cere programa la profilul umanist
Pagina este pentru profilul umanist, nu pentru cel real. Programa cere noțiunea de matrice cu cazurile ei particulare, operațiile cu matrice și proprietățile lor, determinantul de ordinul 2 și 3 cu proprietățile lui fundamentale și calculul lui, plus aplicații în economie, antreprenoriat și transport. Matricea inversă și ecuațiile $AX=B$ stau numai pe lista profilului real. Sistemele de ecuații liniare și regula lui Cramer sunt tema următoare a aceleiași unități. Manualul de clasa a XI-a marchează cu o bară materialul numai pentru profilul real, iar la umanist acel material este doar extindere.

Matricea
O matrice de tip $(m,n)$ este un tabel cu $m$ linii și $n$ coloane, deci cu $m\cdot n$ elemente. În $a_{ij}$ primul indice este linia, al doilea coloana: $a_{12}$ se citește „a-unu-doi”. Două matrice sunt egale când au același tip și aceleași elemente pe aceleași poziții. Elementele pot fi numere complexe, deci în tabel poate apărea $i$ , cu $i^2=-1$ .

Cazuri particulare:

matrice pătratică de ordinul $n$ ( $m=n$ ), cu diagonala principală $a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}$ ;

Operații cu matrice

Suma și diferența se fac element cu element și există numai pentru matrice de același tip. Orice matrice se poate înmulți cu un număr $\alpha$ : fiecare element se înmulțește cu $\alpha$ .
Transpusa ${}^tA$ are liniile lui $A$ drept coloane; dacă $A$ este de tip $(m,n)$ , este de tip

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bt\\cx+dz&cy+dt\end{pmatrix}$

Înmulțirea nu este comutativă: $AB$ și $BA$ pot fi diferite, chiar când există amândouă. Este asociativă și distributivă față de adunare, iar $A\cdot I_n=I_n\cdot A=A$ .

Determinantul
Determinantul se definește numai pentru o matrice pătratică și este un număr, notat $\det A$ sau $|A|$ . La ordinul 2 este produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe cea secundară:
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$

La ordinul 3 este o sumă de șase termeni, fiecare cu câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană:
$\Delta=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Pentru memorare, manualul dă regula triunghiurilor și regula lui Sarrus. Ele doar grupează cele șase produse ale formulei: trei au semnul plus și trei semnul minus, ca în scrierea de mai sus.

Proprietăți care scurtează calculul
Ele se enunță pentru linii, dar sunt valabile și pentru coloane.

$|{}^tA|=|A|$ .
Dacă se schimbă între ele două linii, determinantul își schimbă semnul.
Două linii egale sau proporționale, ori o linie cu toate elementele 0, dau determinantul 0.
Factorul comun al unei linii se scoate în fața determinantului.
Dacă la o linie se adună altă linie înmulțită cu un număr nenul, determinantul nu se schimbă.
La o matrice triunghiulară de ordinul 2 sau 3, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală.
$|A\cdot B|=|A|\cdot|B|$ .

Manualul recomandă ca, înainte de calcul, să faci zerouri cu aceste proprietăți.

Elemente incomode și necunoscute
Calculează întâi fiecare element: fracțiile, numerele complexe și orice expresie scrisă în el. Dacă într-un element apare o necunoscută, programa cere ecuații rezolvate cu calculul determinanților: după formula de ordinul 2 obții o ecuație obișnuită. Din formula $ad-bc$ se vede că minusul scade întregul produs $bc$ , chiar când unul dintre factorii lui este în paranteză.

Aplicații
Un tabel de date devine matrice: vânzări pe luni și produse, prețuri, consumuri. Suma adună tabelele mai multor luni, înmulțirea cu un număr aplică același procent tuturor prețurilor, iar produsul „vânzări × prețuri” dă venitul fiecărei luni, linie pe coloană.

Cum lucrezi la examen

1.Scrie tipul matricelor și verifică dacă operația există.
2.Fă operațiile în ordinea lor și scrie fiecare matrice obținută.
3.Calculează determinantul abia la sfârșit, cu formula.
4.Verifică semnele și controlează un element al produsului.

Matrice și determinanți la profilul umanist: operații, ordinul 2 și 3

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină