Матрицы и определители, гуманитарный профиль: действия, порядок 2 и 3
Матрицы и определители на бакалавриате гуманитарного профиля: действия с матрицами и определитель второго и третьего порядков на уровне работы. На странице расчёт по шагам и ошибки, из-за которых теряют баллы.
Что требует программа гуманитарного профиля Страница написана для гуманитарного профиля, а не для реального. Программа требует понятие матрицы с частными случаями, действия с матрицами и их свойства, определитель второго и третьего порядков с основными свойствами и вычислением, а также приложения в экономике, предпринимательстве и транспорте. Обратная матрица и уравнения AX=B стоят только в списке реального профиля. Системы линейных уравнений и правило Крамера — следующая тема того же раздела. В учебнике для 11 класса материал, отмеченный чертой слева, предназначен только для реального профиля, а у гуманитариев он считается дополнительным.
Матрица Матрица размера m×n — таблица из m строк и n столбцов, то есть из m⋅n элементов. В обозначении aij первый индекс — номер строки, второй — номер столбца: a12 читается «а-один-два». Две матрицы равны, если у них одинаковый размер и равны элементы на одинаковых местах. Элементы могут быть комплексными числами, поэтому в таблице может встретиться i, где i2=−1.
Частные случаи:
квадратная матрица порядка n (m=n) с главной диагональю a11,a22,…,ann;
Действия с матрицами
Сумма и разность считаются поэлементно и существуют только для матриц одинакового размера. Любую матрицу можно умножить на число α: каждый элемент умножается на α.
У транспонированной матрицы tA строки матрицы A становятся столбцами; если A имеет размер m×n, то имеет размер
(acbd)(xzyt)=(ax+bzcx+dzay+btcy+dt)
Умножение матриц не коммутативно: AB и BA могут различаться, даже если существуют оба. Оно ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, а A⋅In=In⋅A=A.
Определитель Определитель задан только для квадратной матрицы и является числом; его обозначают detA или ∣A∣. Для порядка 2 это произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов второстепенной: acbd=ad−bc
Для порядка 3 это сумма шести слагаемых, в каждом по одному элементу из каждой строки и каждого столбца: Δ=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33
Для запоминания учебник даёт правило треугольников и правило Саррюса. Они лишь группируют шесть произведений формулы: три со знаком плюс и три со знаком минус, как в записи выше.
Свойства, которые сокращают вычисления Они сформулированы для строк, но верны и для столбцов.
∣tA∣=∣A∣.
При перестановке двух строк определитель меняет знак.
Две одинаковые или пропорциональные строки, а также строка из одних нулей дают определитель 0.
Общий множитель строки выносится за знак определителя.
Если к строке прибавить другую строку, умноженную на число, определитель не изменится.
У треугольной матрицы порядка 2 или 3 определитель равен произведению элементов главной диагонали.
∣A⋅B∣=∣A∣⋅∣B∣.
Учебник советует перед вычислением получить нули с помощью этих свойств.
Неудобные элементы и неизвестные Сначала вычисляют каждый элемент: дроби, комплексные числа и любое выражение, записанное в нём. Если в элементе есть неизвестное, программа требует решать уравнения средствами определителей: после формулы порядка 2 получается обычное уравнение. Из формулы ad−bc видно, что минус вычитает всё произведение bc, даже когда один из его множителей стоит в скобках.
Приложения Таблица данных становится матрицей: продажи по месяцам и товарам, цены, расходы. Сумма складывает таблицы нескольких месяцев, умножение на число применяет один процент ко всем ценам, а произведение «продажи × цены» даёт доход за каждый месяц, строка на столбец.
Как действовать на экзамене
1.Запишите размеры матриц и проверьте, что действие существует.
2.Выполняйте действия по порядку и записывайте каждую полученную матрицу.
3.Определитель считайте в самом конце, по формуле.
4.Проверьте знаки и один элемент произведения.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
Основные свойства определителей, которые облегчают вычисление: перестановка строк, одинаковые и пропорциональные строки, прибавление строки; урок той же учительницы.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
17 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
вектор-строка (m=1) и вектор-столбец (n=1);
нулевая матрица O, все элементы которой равны 0;
единичная матрица In: квадратная, с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах, например I2=(1001);
треугольная матрица: нули выше главной диагонали или ниже неё.
tA
n×m.
Произведение AB существует, только если у A столько столбцов, сколько строк у B; в результате строк столько, сколько у A, а столбцов — сколько у B. Чтобы получить элемент в строке s и столбце p, элементы строки s матрицы A по очереди умножают на элементы столбца p матрицы B и произведения складывают. Для порядка 2:
Степень A2 — это произведение A⋅A, выполненное «строка на столбец», а не возведение в квадрат каждого элемента.
В уравнении с неизвестной матрицей известные слагаемые переносят в другую часть с противоположным знаком, а умножение матрицы на число выполняется поэлементно. В учебнике решение матричных уравнений — цель, отмеченная для реального профиля, но программа гуманитарного профиля требует решать уравнения средствами действий с матрицами, и в заданиях экзамена из списка ниже такое есть; уравнения AX=B остаются реальному профилю.
