Ce cere programa
La profilul real, unitatea X.1 a programei de bacalaureat are două părți. Prima e despre mulțimi: noțiunea de mulțime, mulțimile numerice N, Z, Q, R, submulțimile și patru operații — reuniunea, intersecția, diferența, produsul cartezian — cu proprietățile lor. A doua e logică: propoziția și valoarea ei de adevăr, axioma, teorema și reciproca ei, condițiile necesare și suficiente, cei doi cuantificatori și metoda reducerii la absurd. Programa cere să folosești operațiile cu mulțimi numerice în rezolvarea problemelor și să stabilești dacă o propoziție e adevărată prin argumente, exemple și contraexemple. Curriculumul clasei a X-a mai adaugă booleanul mulțimii și inducția matematică; în lista programei de BAC ele nu apar.
Mulțimi și elemente
O mulțime se dă în trei feluri: prin enumerarea elementelor (modul sintetic), printr-o proprietate caracteristică — pe care o au toate elementele ei și numai ele (modul analitic, de forma {x∈R∣…}) sau printr-o diagramă Euler–Venn. Numărul de elemente al unei mulțimi finite M este cardinalul ei, cardM sau ∣M∣. Mulțimea fără elemente este mulțimea vidă ∅, iar card∅=0.
Între un element și o mulțime scrii ∈; între două mulțimi scrii ⊆. A⊆B înseamnă că fiecare element al lui A se află și în B, iar A=B exact atunci când A⊆B și B⊆A. Peste lista de BAC, curriculumul adaugă booleanul: mulțimea tuturor submulțimilor lui notată dacă el are elemente.
Mulțimile numerice
- N={0,1,2,…} — numerele naturale, cu zero inclus
- Z={…,−2,−1,0,1,2,…} — numerele întregi
- Q={nm∣m,n∈Z, n=0} — numerele raționale
Incluziunile sunt N⊂Z⊂Q⊂R și I⊂R. Pentru o mulțime numerică K, K∗ înseamnă K fără zero, K+ — elementele nenegative, — elementele nepozitive. Astfel
Operațiile
| Operația | Notația | Ce conține |
|---|
| reuniunea | A∪B | elementele din cel puțin una dintre mulțimi |
| intersecția | A∩B | elementele comune lui A și B |
| diferența | A∖B | elementele lui A care nu sunt în B |
Dacă A∩B=∅, mulțimile sunt disjuncte. Pentru A⊆M, mulțimea M∖A este complementara lui A în M, notată CMA. La diferență și la produsul cartezian ordinea contează: în general Fiecare element al lui formează o pereche cu fiecare element al lui în exemplul din manual, o mulțime cu două elemente și una cu trei dau șase perechi.
Proprietățile operațiilor
Reuniunea și intersecția sunt comutative și asociative; A∪A=A, A∩A=A, A∪∅=A, A∩∅=∅. Manualul dă, pentru profilul real, și distributivitatea: și Dacă atunci
Răspunsul unei ecuații sau inecuații este și el o mulțime, S. Pentru un sistem, S este intersecția mulțimilor de soluții ale componentelor lui; pentru o totalitate, S este reuniunea lor.
Propoziții și cuantificatori
Propoziția este un enunț căruia îi poți atribui sigur una dintre cele două valori de adevăr: adevărat sau fals. Din propoziții p, q se formează propoziții compuse cu „și”, „sau”, „non”, „dacă…, atunci…”. Semnul ∀ (cuantificatorul universal) înseamnă „pentru orice”, iar semnul ∃ (cuantificatorul existențial) — „există”: (∀x∈R) x2+1≥0. O propoziție generală, despre un element oarecare al unei mulțimi, e falsă de îndată ce găsești un contraexemplu: un element pentru care ea nu are loc.
Teoreme, reciproce, condiții
Axiomele se acceptă fără demonstrație, iar teoremele, de regulă, se demonstrează. O teoremă are o parte explicativă, o ipoteză și o concluzie. În „Dacă A, atunci B”, A ajunge pentru ca B să aibă loc, deci e condiția suficientă; B nu poate lipsi când are loc A, deci e condiția necesară. Schimbând ipoteza cu concluzia obții reciproca, care poate fi falsă: „un întreg divizibil cu 6 e divizibil cu 2” e adevărată, reciproca nu, iar 4 este contraexemplul. Formularea „A dacă și numai dacă B” spune că A și sunt condiții necesare și suficiente una pentru alta.
Reducerea la absurd
Presupui că concluzia este falsă și ajungi, prin deducții, la o contradicție; atunci presupunerea e falsă și concluzia e adevărată. Așa arată manualul că un întreg care nu se divide cu 3 nu se divide nici cu 6 și că problema diagonalei unui dreptunghi cu laturile 1 cm și 2 cm nu are soluție în Q.
