Что требует программа
Для реального профиля раздел X.1 программы бакалавриата состоит из двух частей. Первая — множества: понятие множества, числовые множества N, Z, Q, R, подмножества и четыре операции — объединение, пересечение, разность, декартово произведение — с их свойствами. Вторая — логика: высказывание и его истинностное значение, аксиома, теорема и обратная теорема, необходимые и достаточные условия, два квантора и метод от противного. Программа требует применять операции с числовыми множествами при решении задач и находить истинностное значение высказывания с помощью аргументов, примеров и контрпримеров. Куррикулум X класса добавляет ещё булеан множества и математическую индукцию; в перечне программы BAC их нет.
Множества и элементы
Множество задают тремя способами: перечислением элементов (синтетический способ), характеристическим свойством элементов (аналитический способ, запись {x∈R∣…}) или диаграммой Эйлера–Венна. Сколько элементов в конечном множестве M, показывает его кардинал: cardM или ∣M∣. Множество без элементов — пустое, ∅, и card∅=0.
Между элементом и множеством ставь ∈, между двумя множествами — ⊆. Запись A⊆B означает, что каждый элемент A лежит и в B; A=B ровно тогда, когда A⊆B и B⊆A. Сверх перечня BAC куррикулум добавляет булеан — множество всех подмножеств обозначаемое если в нём элементов.
Числовые множества
- N={0,1,2,…} — натуральные числа, ноль входит
- Z={…,−2,−1,0,1,2,…} — целые числа
- Q={nm∣m,n∈Z, n=0} — рациональные числа
Включения: N⊂Z⊂Q⊂R и I⊂R. Для числового множества K запись K∗ означает K без нуля, K+ — его неотрицательные элементы, — неположительные. Значит,
Операции
| Операция | Запись | Что содержит |
|---|
| объединение | A∪B | элементы хотя бы одного из множеств |
| пересечение | A∩B | общие элементы A и B |
| разность | A∖B | элементы A, которых нет в B |
Если A∩B=∅, множества называются непересекающимися. Для A⊆M множество M∖A — дополнение A до M, обозначается CMA. В разности и в декартовом произведении порядок важен: в общем случае Каждый элемент образует пару с каждым элементом в примере учебника множества из двух и из трёх элементов дают шесть пар.
Свойства операций
Объединение и пересечение коммутативны и ассоциативны; A∪A=A, A∩A=A, A∪∅=A, A∩∅=∅. Для реального профиля учебник даёт и дистрибутивность: и Если то
Ответ уравнения или неравенства — тоже множество, S. Для системы S — пересечение множеств решений её частей, для совокупности — их объединение.
Высказывания и кванторы
Высказывание — предложение, для которого вопрос «истинно или ложно?» имеет смысл и решается однозначно. Из высказываний p, q связками «и», «или», «не», «если…, то» строят составные высказывания. Знак ∀ (квантор общности) означает «для любого», знак ∃ (квантор существования) — «существует»: (∀x∈R) x2+1≥0. Общее высказывание, о произвольном элементе множества, ложно, как только найден контрпример — элемент, для которого оно не выполняется.
Теоремы, обратные теоремы, условия
Аксиомы принимают без доказательства, а теоремы, как правило, доказывают. В теореме есть разъяснительная часть, условие и заключение. В высказывании «Если A, то B» выполнения A хватает, чтобы выполнялось B, — это достаточное условие; а B не может не выполняться, когда выполнено A, — это необходимое условие. Поменяв местами условие и заключение, получаешь обратное высказывание, и оно может оказаться ложным: «целое число, кратное 6, кратно 2» верно, а обратное — нет, контрпример 4. Формулировка «A, если и только если B» говорит, что A и — необходимые и достаточные условия друг для друга.
Метод от противного
Предполагаешь, что заключение ложно, и логическими выводами приходишь к противоречию; значит, предположение ложно, а заключение верно. Так учебник доказывает, что целое число, не кратное 3, не кратно и 6, и что задача о диагонали прямоугольника со сторонами 1 и 2 не имеет решения в Q.
