Puteri și radicali: proprietăți, exponent rațional, raționalizare
Puterile cu exponent întreg, rațional și real și radicalii de ordinul 2 și 3, o temă din unitatea X.2 a programei de BAC la matematică, profilul real. Aici ai definițiile, proprietățile din manual, modulul la ordin par și raționalizarea.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa La profilul real, puterile și radicalii, fiecare cu proprietățile lui, deschid unitatea X.2 a programei de bacalaureat. Programa cere calcule cu puteri și cu radicali de ordinul 2 și 3, după proprietățile potrivite, dar și estimări și rotunjiri cu numere reale. Ecuațiile iraționale și cele exponențiale sunt teme separate, în unitatea X.5, și se sprijină pe regulile de aici. După curriculum, tema se învață în clasa a X-a.
Puterea cu exponent întreg Pentru a=0 și n natural nenul, an este produsul a n factori egali cu a,a0=1 și a−n=an1. Zero la o putere naturală nenulă dă zero, dar 00 nu are sens. Un număr pozitiv ridicat la o putere întreagă rămâne pozitiv.
Radicalul de ordinul n
Ordin impar: na=b înseamnă bn=a, iar a poate fi și negativ:
Proprietățile radicalilor Pentru a,b≥0 (la ordin impar, pentru orice a,b reale):
Formula
Ce face
(na)n=a
puterea anulează radicalul de același ordin
nab=na⋅nb
Ordin par și modul Pentru orice a real, a2=∣a∣ și, la fel, 2ka2k=∣a∣. Dacă atunci Formulele din tabel cer semne cunoscute: are sens și pe unde nu are, deci cele două nu sunt egale.
Scoaterea și introducerea factorului Scoți factorul care este o putere completă: 374−73⋅5=373⋅2=732. Când introduci un factor negativ sub radicalul de ordinul 2, minusul rămâne afară: Cu o literă, semnul ei decide: este pentru și pentru
Raționalizarea numitorului A raționaliza înseamnă a scăpa de radicalii de la numitor. La un numitor a±b amplifici cu conjugata lui: 7−22=52(7+2). La radicalii de ordinul 3 manualul folosește formula cazul al formulei generale:
Puterea cu exponent rațional Pentru a>0:anm=nam, cu întreg și natural. De exemplu, Rezultatul este pozitiv, iar rămâne adevărată; separat, pentru naturale nenule. Definiția este dată pentru o bază pozitivă, iar baza 0 este cazul separat de mai sus; o bază negativă nu intră în ea, așa că radicalul de ordinul 3 dintr-un număr negativ îl lași scris ca radical, nu ca putere.
Puterea cu exponent real Pentru a>0 și x irațional, ax se definește prin aproximările zecimale ale lui x prin lipsă și prin adaos; prin definiție, 1x=1. Pentru a≤0 o astfel de putere nu există, iar pentru rezultatul este mereu pozitiv. Proprietățile sunt aceleași ca la exponentul rațional, pentru
ax⋅ay=ax+y,ayax=ax−y,
Exemplu din manual: [(21)3]−27=(21)−9=512. Tot de acolo: deci din rezultă
Estimări Un radical irațional îl încadrezi între puteri cunoscute: 1,253<2<1,263, deci 1,25<32<1,26.
Cum lucrezi
1.Scrie zecimalele ca fracții și numerele ca puteri ale factorilor primi.
2.Trece radicalii în puteri cu exponent rațional, dacă baza este pozitivă.
3.Aplică proprietățile puterilor și abia apoi calculează.
4.La ordin par cu semn necunoscut, scrie modulul.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
3−0,125=−0,5.
Ordin par: radicalul se ia numai dintr-un număr nenegativ și dă tot un număr nenegativ: 0,25=0,5, iar 4−16 nu există.
radicalul produsului
nba=nbna,b=0
radicalul câtului
(na)k=nak
puterea trece sub radical
nka=nka
radical din radical
npank=pak,a≥0
simplifici ordinul și exponentul
a>b≥0⇒na>nb
compararea radicalilor
ab≥0,
2kab=2k∣a∣⋅2k∣b∣.
x7(x2−5)
[−5;0],
x7⋅x2−5
−72=−98.
xx2y
y
x>0
−y
x<0.
a−b=(3a−3b)(3a2+3ab+3b2),
n=3
33−322=2(39+36+34).
m
n≥2
2732=3272=9.
a−x=ax1
0nm=0
m,
n
a>0
a,b>0:
(ax)y=axy;
(ab)x=axbx,(ba)x=bxax;
dacă x>y: pentru a>1 avem ax>ay, pentru 0<a<1 avem ax<ay;
dacă a>b: pentru x>0 avem ax>bx, pentru x<0 avem ax<bx;
