Triunghiuri la profilul umanist: asemănare, Pitagora, linii
Triunghiurile la BAC, profilul umanist: clasificări, congruență, linii importante, asemănare și relații metrice în triunghiul dreptunghic. Vezi cum se rezolvă itemii cu drepte paralele, înălțimi și ipotenuză și ce greșeli costă puncte.
Ce cere programa Pagina este pentru profilul umanist (lucrarea ANCE „Profil umanist, arte, sport”). Capitolul X.4 „Figuri geometrice în plan” cere la această temă noțiunile de bază (dreapta, semidreapta, punctele coliniare, segmentul), apoi triunghiurile: clasificările, congruența, liniile importante, asemănarea și relațiile metrice în triunghiul dreptunghic. Patrulaterele, cercul și ariile au pagini separate. Manualul de clasa a X-a are pentru acest profil seturi de probleme proprii; mai jos sunt rezultatele de care ai nevoie la lucrare, fără demonstrații.
Noțiuni de bază Punctul, dreapta, planul, distanța și măsura unghiului nu se definesc. Punctele aflate pe aceeași dreaptă sunt coliniare. Măsura oricărui unghi este între 0∘ și 180∘.
Triunghiul și clasificările lui
Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘. Fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două, de aceea trei segmente de 3,4 și 8 cm nu formează un triunghi.
După unghiuri: ascuțitunghic (toate unghiurile ascuțite), dreptunghic (un unghi drept), obtuzunghic (un unghi obtuz). După laturi: scalen (laturi diferite), isoscel (două laturi congruente), echilateral (toate trei).
Triunghiul isoscel are unghiurile de la bază congruente, iar înălțimea, mediana și bisectoarea duse din vârful opus bazei coincid. Garanția din manual privește numai acest vârf: pentru o înălțime dusă dintr-un vârf al bazei nu presupune că este și mediană.
Triunghiul echilateral are toate unghiurile de 60∘.
Triunghiuri congruente Triunghiurile sunt congruente dacă au laturile și unghiurile respectiv congruente; în notație contează ordinea vârfurilor. Ajung trei elemente potrivite, după un criteriu: LUL (două laturi și unghiul dintre ele), ULU (o latură și unghiurile alăturate ei), LLL (cele trei laturi). La triunghiurile dreptunghice mai merg CC (cele două catete) și IC (ipotenuza și o catetă). Metoda triunghiurilor congruente: găsești două triunghiuri congruente și deduci că anumite segmente sau unghiuri sunt congruente.
Linii importante
Linia
Cum se duce
Cele trei linii se taie în
mediana
din vârf la mijlocul laturii opuse
centrul de greutate G
înălțimea
din vârf, perpendicular pe latura opusă
ortocentru (se taie dreptele care conțin înălțimile)
bisectoarea
bisectoarea unghiului din vârf, până la latura opusă
centrul cercului înscris
mediatoarea
perpendiculara prin mijlocul laturii
centrul cercului circumscris
Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul 2:1 de la vârf, adică AG=32AA1. Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi, este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
Triunghiuri asemenea Triunghiurile sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale, cu același raport k. Se scrie △ABC∼△A1B1C1, iar ordinea vârfurilor arată care laturi se corespund. Criterii: două unghiuri congruente; două laturi proporționale și unghiul dintre ele congruent; trei laturi proporționale.
Perimetrele sunt în raportul k (fiecare latură se înmulțește cu k, deci și suma lor), iar ariile în raportul k2.
Thales: dacă MN∥BC, cu M∈AB și segmentele sunt proporționale: Teorema fundamentală a asemănării dă deci din ea iese și forma de mai sus, pentru că și
Relații metrice în triunghiul dreptunghic Fie a și b catetele, c ipotenuza, iar h înălțimea dusă pe ipotenuză, care o împarte în proiecțiile m și n ale catetelor (m+n=c).
Pitagora: c2=a2+b2. Dacă îți lipsește ipotenuza, aduni pătratele; dacă îți lipsește o catetă, scazi: a=c2−b2. Reciproca este și ea teoremă: dacă pătratul unei laturi este suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic (așa verifici triunghiul cu laturile manualul de clasa a VIII-a o enunță și cere să decizi astfel dacă un triunghi este dreptunghic).
α
30∘
45∘
60∘
Aria triunghiului A=2a⋅ha, cu orice latură a și înălțimea ei ha. Aceeași arie se scrie cu altă latură, deci așa afli o înălțime pe care nu o poți calcula direct.
Cum alegi calea Desenează triunghiul și scrie datele pe desen. Paralelă la o latură: Thales sau asemănare. Unghi drept: Pitagora, iar cu înălțimea pe ipotenuză, teoremele catetei și înălțimii. Unghiuri de 30∘,45∘,60∘: triunghiurile cu laturile în raportul 1:3:2 sau Triunghi isoscel: înălțimea pe bază. Două înălțimi date sau cerute: aria scrisă în două feluri.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Criteriile de asemănare a triunghiurilor, cu probleme rezolvate: laturile unui triunghi asemenea din perimetrul lui și triunghiuri asemenea recunoscute din date de pe desen. Lecție de clasa a VIII-a, la nivelul gimnaziului.
Triplete pitagoreice, teorema lui Pitagora și reciproca ei, cu demonstrațiile, apoi distanța dintre două puncte și probleme aplicate (scara, peretele, laturile unui paralelogram). Lecție de clasa a VIII-a, la nivelul gimnaziului.
Linia mijlocie, mediana și centrul de greutate (raportul 2:1), mediatoarea, bisectoarea, înălțimea și punctele lor de intersecție. Lecția este făcută pentru profilul real: definițiile și proprietățile sunt cele de aici, dar ultima problemă (mediane perpendiculare) are nivelul profilului real.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
22 de cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
FREIGHT PATH SRL · IDNO 1026600014400 · MD-2002, Republica Moldova, mun. Chișinău, sect. Botanica, bd. Decebal 6 · nota10contact.md@gmail.com
3-D Secure
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
N∈AC,
MBAM=NCAN.
△AMN∼△ABC,
ABAM=ACAN=BCMN;
MB=AB−AM
NC=AC−AN.
Două drepte paralele tăiate de drepte care trec prin același punct O determină segmente proporționale. La trapezul ABCD cu AD∥BC și O=AC∩BD folosești asemănarea: unghiurile alterne interne ∠OAD,∠OCB și ∠ODA,∠OBC sunt congruente, deci △OAD∼△OCB (criteriul cu două unghiuri) și OCOA=BCAD.
6,
8,
10;
Teorema catetei: a2=c⋅m și b2=c⋅n. Teorema înălțimii: h2=m⋅n.
Cateta opusă unghiului de 30∘ are jumătate din ipotenuză, deci laturile triunghiului cu unghiurile 30∘,60∘,90∘ sunt x,x3 și 2x (a doua catetă vine din Pitagora: (2x)2−x2=3x2). Dacă un unghi ascuțit are 45∘, celălalt are tot 45∘, deci catetele sunt congruente, iar ipotenuza, din Pitagora, este a2.
Sinusul unui unghi ascuțit este cateta opusă supra ipotenuză, cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză, tangenta este cateta opusă supra cea alăturată. Tabelul manualului dă valorile pentru unghiurile frecvente:
