Треугольники, гуманитарный профиль: подобие, Пифагор, линии
Треугольники на BAC, гуманитарный профиль: виды, конгруэнтность, замечательные линии, подобие и метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Видно, как решать задания с параллельными прямыми и высотами и какие ошибки стоят баллов.
Что требует программа Страница — для гуманитарного профиля (работа ANCE «гуманитарный профиль, искусство, спорт»). Раздел X.4 «Геометрические фигуры на плоскости» требует по этой теме основные понятия (прямая, полупрямая, коллинеарные точки, отрезок), а затем треугольники: классификацию, конгруэнтность, замечательные линии, подобие и метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Четырёхугольники, окружность и площади вынесены на отдельные страницы. В учебнике 10 класса для этого профиля есть свои наборы задач; ниже — результаты, которые нужны на экзамене, без доказательств.
Основные понятия Точка, прямая, плоскость, расстояние и величина угла не определяются. Точки одной прямой коллинеарны. Величина любого угла лежит между 0∘ и 180∘.
Треугольник и его виды
Сумма углов треугольника равна 180∘. Каждая сторона меньше суммы двух других, поэтому отрезки в 3,4 и 8 см не образуют треугольника.
По углам: остроугольный (все углы острые), прямоугольный (один угол прямой), тупоугольный (один угол тупой). По сторонам: разносторонний, равнобедренный (две стороны конгруэнтны), равносторонний (все три).
В равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны, а высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Гарантия учебника относится только к этой вершине: для высоты из вершины основания не предполагайте, что она ещё и медиана.
В равностороннем треугольнике все углы по 60∘.
Конгруэнтные треугольники Треугольники конгруэнтны, если их стороны и углы соответственно конгруэнтны; в записи важен порядок вершин. Достаточно трёх подходящих элементов по одному из признаков: СУС (две стороны и угол между ними), УСУ (сторона и прилежащие к ней углы), ССС (три стороны). У прямоугольных треугольников есть ещё КК (два катета) и ГК (гипотенуза и катет). Метод конгруэнтных треугольников: находят два конгруэнтных треугольника и выводят, что некоторые отрезки или углы конгруэнтны.
Замечательные линии
Линия
Как проводится
Три линии пересекаются в
медиана
из вершины в середину противоположной стороны
центре тяжести G
высота
из вершины перпендикулярно противоположной стороне
биссектриса угла при вершине до противоположной стороны
центре вписанной окружности
серединный перпендикуляр (в учебнике — медиатриса)
перпендикуляр через середину стороны
центре описанной окружности
Центр тяжести делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, то есть AG=32AA1. Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Подобные треугольники Треугольники подобны, если их углы соответственно конгруэнтны, а стороны соответственно пропорциональны с одним и тем же отношением k. Записывают △ABC∼△A1B1C1, и порядок вершин показывает, какие стороны соответствуют друг другу. Признаки: два конгруэнтных угла; две пропорциональные стороны и конгруэнтный угол между ними; три пропорциональные стороны.
Периметры относятся как k (каждая сторона умножается на k, значит и их сумма), а площади — как k2.
Фалес: если MN∥BC, где M∈AB, отрезки пропорциональны: Основная теорема подобия даёт поэтому отсюда получается и запись выше, ведь и
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике Пусть a и b — катеты, c — гипотенуза, h — высота к гипотенузе, которая делит её на проекции катетов m и n (m+n=c).
Пифагор: c2=a2+b2. Если неизвестна гипотенуза, квадраты складывают; если неизвестен катет, вычитают: a=c2−b2. Обратная теорема тоже верна: если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный (так проверяют стороны учебник 8 класса формулирует её и просит так определять, прямоугольный ли треугольник).
α
30∘
45∘
60∘
Площадь треугольника A=2a⋅ha для любой стороны a и проведённой к ней высоты ha. Ту же площадь можно записать через другую сторону, значит так находят высоту, которую напрямую не вычислить.
Как выбрать путь Сделайте чертёж и выпишите данные на него. Прямая параллельна стороне: Фалес или подобие. Прямой угол: Пифагор, а при высоте к гипотенузе — теоремы о катете и о высоте. Углы 30∘,45∘,60∘: треугольники со сторонами в отношении 1:3:2 или Равнобедренный треугольник: высота к основанию. Даны или нужны две высоты: площадь, записанная двумя способами.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
Классификация треугольников по углам и сторонам и конгруэнтные треугольники; урок для реального профиля, поэтому доказательства глубже, чем нужно на гуманитарном профиле.
Теорема Пифагора и теорема о катете, доказательство теоремы Пифагора через теорему о катете, обратная теорема Пифагора, примеры (катет по гипотенузе и катету; треугольник со сторонами 5, 12, 13 и его площадь). Урок 8 класса, уровень гимназии.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
22 карточки с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
N∈AC,
MBAM=NCAN.
△AMN∼△ABC,
ABAM=ACAN=BCMN;
MB=AB−AM
NC=AC−AN.
Две параллельные прямые, пересечённые прямыми через одну точку O, отсекают пропорциональные отрезки. В трапеции ABCD с AD∥BC и O=AC∩BD используют подобие: накрест лежащие углы ∠OAD,∠OCB и ∠ODA,∠OBC конгруэнтны, значит △OAD∼△OCB (признак по двум углам) и OCOA=BCAD.
6,
8,
10;
Теорема о катете: a2=c⋅m и b2=c⋅n. Теорема о высоте: h2=m⋅n.
Катет против угла в 30∘ равен половине гипотенузы, поэтому у треугольника с углами 30∘,60∘,90∘ стороны равны x,x3 и 2x (второй катет из Пифагора: (2x)2−x2=3x2). Если один острый угол равен 45∘, второй тоже 45∘, поэтому катеты равны, а гипотенуза по Пифагору равна a2.
Синус острого угла — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий катет к гипотенузе, тангенс — противолежащий катет к прилежащему. Значения для частых углов даёт таблица учебника:
