Matematica, BAC · Profil real · Geometrie · Corpuri de rotație

Sfera și corpul sferic: secțiuni, aria sferei, volumul

Sfera și corpul sferic la BAC, profilul real: elementele, secțiunea cu un plan, aria sferei și volumul corpului sferic. Pagina strânge formulele și triunghiul dreptunghic care leagă raza sferei de raza secțiunii.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Desene și scheme
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Pagina este pentru profilul real. La capitolul XII.6 „Corpuri de rotație” programa de BAC cere de la sferă elementele ei (centru, rază, diametru), secțiunile cu un plan, aria suprafeței sferice, corpul sferic și volumul lui. Cilindrul și conul au pagini separate.

Sferă și corp sferic
Sfera cu centrul $O$ și raza $R$ este alcătuită din toate punctele spațiului care se află la distanța $R$ de $O$ . Este o suprafață, ca învelișul unei mingi. Corpul sferic, numit și bilă, cuprinde sfera și tot ce se află înăuntrul ei, adică mingea întreagă. Diferența contează la calcul: aria se cere pentru sferă, volumul pentru corpul sferic.

Elementele sferei:

raza leagă centrul de un punct al sferei; toate razele au lungimea $R$ ;
coarda leagă două puncte oarecare ale sferei;
diametrul este coarda ce trece prin centru; se compune din două raze, deci are lungimea $2R$ .

Planul și sfera
Notează cu $d$ distanța de la centrul $O$ până la un plan. Sunt trei poziții:

planul este exterior ( $d>R$ ): nu are niciun punct comun cu sfera;
planul este tangent ( $d=R$ ): are un singur punct comun $T$ , iar raza $OT$ este perpendiculară pe plan;
planul este secant ( $d<R$ ): taie sfera.

Secțiunea cu un plan
La $d<R$ secțiunea sferei este un cerc. Centrul lui, $O_1$ , este proiecția lui $O$ pe plan, iar raza $r$ se află din triunghiul dreptunghic $OO_1M$ , unde este un punct al cercului: ipotenuza este catetele sunt și De aici

Secțiunea corpului sferic cu același plan este discul mărginit de acest cerc, cu aria $\pi r^2=\pi(R^2-d^2)$ .

La $d=0$ planul trece prin centru și raza secțiunii este $R$ : secțiunea este cercul mare al sferei. Cu cât planul se depărtează de centru, cu atât raza secțiunii scade, deci cercul mare este cea mai mare secțiune.

Aria sferei
$A=4\pi R^2$ . La sferă se vorbește doar despre aria ei; noțiunile de arie laterală și arie totală, folosite la cilindru și con, aici nu se aplică.

Volumul corpului sferic
$V=\dfrac43\pi R^3$ . Manualul deduce formula comparând corpul sferic cu un corp obținut dintr-un cilindru de rază $R$ și înălțime $2R$ , din care se scot două conuri de rază și înălțime cu vârful comun în mijlocul axei. Un plan paralel cu baza, la distanța de centru, taie ambele corpuri după figuri de aceeași arie, După principiul lui Cavalieri volumele sunt egale:

Cum se schimbă aria și volumul
Dacă raza se înmulțește cu $k$ , aria sferei se înmulțește cu $k^2$ , iar volumul corpului sferic cu $k^3$ . Ariile se măsoară în cm $^2$ , volumele în cm

Ce nu cere programa
Zona sferică, calota sferică și sectorul sferic sunt definite în manual la rubrica opțională „Vreți să știți mai mult?”. Programa nu le numește, deci formulele lor nu sunt necesare la BAC.

Cum începi o problemă

1.Află raza $R$ . Din aria dată scrii $4\pi R^2=\dots$ , din volumul dat $\dfrac43\pi R^3=\dots$ ; dacă ți se dă diametrul, îl împarți la 2.

Sfera și corpul sferic: secțiuni, aria sferei, volumul

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Desene și scheme

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină