Математика, BAC · Реальный профиль · Геометрия · Тела вращения

Сфера и шар: сечения, площадь сферы, объём шара

Сфера и шар на BAC, реальный профиль: элементы, сечение плоскостью, площадь сферы и объём шара. На странице формулы и прямоугольный треугольник, который связывает радиус сферы с радиусом сечения.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники

Что нужно знать

Что требует программа
Страница для реального профиля. В разделе XII.6 «Тела вращения» программа BAC требует от сферы: элементы (центр, радиус, диаметр), сечения плоскостью, площадь сферы, шар и его объём. Цилиндр и конус вынесены на отдельные страницы.

Сфера и шар
Сфера с центром $O$ и радиусом $R$ — это все точки пространства, удалённые от $O$ на расстояние $R$ . Сфера — поверхность, как оболочка мяча. Шар, или сферическое тело, включает сферу и всё, что лежит внутри неё, то есть мяч целиком. Различие важно для вычислений: площадь считают у сферы, объём — у шара.

Элементы сферы:

радиус соединяет центр с точкой сферы; все радиусы имеют длину $R$ ;
хорда соединяет две любые точки сферы;
диаметр — хорда, идущая через центр; он состоит из двух радиусов, поэтому его длина равна $2R$ .

Плоскость и сфера
Пусть $d$ — расстояние от центра $O$ до плоскости. Возможны три случая:

плоскость не пересекает сферу ( $d>R$ ): общих точек нет;
плоскость касается сферы ( $d=R$ ): общая точка одна, $T$ , а радиус $OT$ перпендикулярен плоскости;
плоскость секущая ( $d<R$ ): она пересекает сферу.

Сечение плоскостью
При $d<R$ сечением сферы является окружность. Её центр $O_1$ — проекция точки $O$ на плоскость, а радиус $r$ находится из прямоугольного треугольника $OO_1M$ , где — точка этой окружности: гипотенуза катеты и Отсюда

Сечение шара той же плоскостью — круг, ограниченный этой окружностью; его площадь $\pi r^2=\pi(R^2-d^2)$ .

При $d=0$ плоскость проходит через центр, и радиус сечения равен $R$ : это большая окружность сферы. Чем дальше плоскость от центра, тем меньше радиус сечения, поэтому большая окружность — наибольшее из сечений.

Площадь сферы
$A=4\pi R^2$ . Для сферы говорят просто о её площади: понятия площади боковой и полной поверхности, привычные для цилиндра и конуса, к ней не применяются.

Объём шара
$V=\dfrac43\pi R^3$ . Учебник выводит формулу, сравнивая шар с телом, которое получается из цилиндра радиуса $R$ и высотой $2R$ , если убрать из него два конуса радиуса и высотой с общей вершиной в середине оси. Плоскость, параллельная основанию и удалённая от центра на режет оба тела по фигурам одинаковой площади, По принципу Кавальери объёмы равны:

Как меняются площадь и объём
Если радиус умножить на $k$ , площадь сферы умножится на $k^2$ , а объём шара — на $k^3$ . Площади измеряют в см $^2$ , объёмы — в см

Чего программа не требует
Сферическая зона, сферический сегмент и сферический сектор определены в учебнике в дополнительной рубрике «Хотите знать больше?». Программа их не называет, поэтому их формулы для BAC не нужны.

С чего начать задачу

1.Найди радиус $R$ . По данной площади записывают $4\pi R^2=\dots$ , по данному объёму $\dfrac43\pi R^3=\dots$ ; если дан диаметр, его делят на 2.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Educație Online RO · YouTube

О чём: Урок на румынском языке, для 9 класса. Определение сферы, элементы (центр, радиус, хорда, диаметр), шар, сечение плоскостью и большая окружность, формулы площади и объёма, затем решённые задачи: расстояние от центра до плоскости сечения по теореме Пифагора (с минуты 8:39) и объём сферического сосуда. Положение прямой относительно сферы (минуты 5:54–7:10) выходит за программу. Определения и формулы те же, что на BAC, задачи проще.

Канал: Галина Овсюк · YouTube

О чём: Короткий урок на русском языке, не молдавский, по сути тест. Определения сферы и шара, радиус и диаметр, сечение шара плоскостью и прямоугольный треугольник с теоремой Пифагора, наибольшее сечение, касательная плоскость и перпендикулярность радиуса. Задачи в нём только ставятся, решений нет (ответы автор обещает прислать на почту). Сечение через центр автор называет «большой круг», на этой странице — «большая окружность». Формул площади сферы и объёма шара в нём нет.

Канал: Alexey Sidorov · YouTube

О чём: Урок на русском языке, не молдавский, с задачами ЗНО. Программе соответствуют формулы объёма шара и площади сферы (0:29–1:00), сечение сферы плоскостью и прямоугольный треугольник из центра, центра сечения и точки сечения (с 1:36 до 3:00) и задача про площадь сечения и расстояние до плоскости (6:24–9:11). Остальное — вписанные и описанные цилиндр, конус и призма, это шире программы. В описании автор отмечает ошибку: в последнем задании ответ в 3 раза больше.

Сфера и шар: сечения, площадь сферы, объём шара

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу