Matematica, BAC · Profil real · Geometrie · Corpuri de rotație

Conul și trunchiul de con: elemente, secțiuni, arii, volum

Conul circular drept și trunchiul lui la BAC, profilul real: elemente, secțiuni, arii și volum. Aici ai definițiile și formulele din manualul de clasa a XII-a, cu legătura dintre con și trunchi.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Desene și scheme
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Pagina este pentru profilul real. Capitolul XII.6 „Corpuri de rotație” al programei de BAC cere la această temă conul circular drept și trunchiul lui: elementele, secțiunile paralele cu baza și cele axiale, ariile suprafețelor și volumul. Cilindrul și sfera au pagini proprii.

Conul circular drept și elementele lui
Conul stă pe un disc, baza, și are un vârf $S$ în afara planului bazei. Orice segment dus din vârf într-un punct al cercului bazei este o generatoare; segmentul din vârf până la proiecția vârfului pe planul bazei este înălțimea $H$ . Conul este drept când această proiecție este chiar centrul bazei. Atunci toate generatoarele sunt congruente și, împreună cu raza bazei $R$ și cu înălțimea, formează un triunghi dreptunghic:

$G^2=R^2+H^2$

Conul drept apare și când un triunghi dreptunghic se rotește în jurul uneia dintre catete: cateta fixă dă înălțimea, cealaltă catetă dă raza bazei, iar ipotenuza dă generatoarea.

Secțiunile conului

Secțiunea axială (planul conține axa) este un triunghi isoscel. Planul axial taie baza după un diametru, deci laturile egale ale triunghiului sunt $G$ , baza lui este $2R$ , înălțimea $H$ , iar aria $\dfrac{2R\cdot H}{2}=R\cdot H$ .

Desfășurata, ariile și volumul conului
Suprafața laterală se desfășoară într-un sector circular de rază $G$ și cu arcul de lungime $2\pi R$ (unghiul sectorului este $\alpha=\dfrac{2\pi R}{G}$ ), iar baza este un disc de rază $R$ . Aria laterală este egală cu aria sectorului; adăugând baza, obții aria totală.

Mărime	Formula
aria laterală	$A_L=\pi RG$
aria totală	$A_T=\pi RG+\pi R^2=\pi R(G+R)$

În aria laterală intră generatoarea $G$ , în volum intră înălțimea $H$ .

Trunchiul de con circular drept
Un plan paralel cu baza, care taie înălțimea conului într-un punct interior, desparte un con mic de restul conului: restul este trunchiul. El are două baze, discuri de raze $R$ (mare) și $r$ (mică). Generatoarea $g$ este porțiunea de generatoare a conului rămasă la trunchi, iar înălțimea $h$ este distanța dintre planele bazelor. Trunchiul este drept când dreapta centrelor bazelor este perpendiculară pe ele; el apare și când un trapez isoscel se rotește în jurul axei de simetrie, dreapta mijloacelor bazelor. Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele $2R$ și $2r$ , laturile neparalele și înălțimea Coborând înălțimea din vârful bazei mici, piciorul ei împarte baza mare în segmentele și (jumătatea sumei și jumătatea diferenței bazelor și Segmentul este o catetă a triunghiului dreptunghic cu catetele și și ipotenuza

$g^2=h^2+(R-r)^2$

Un plan paralel cu bazele taie trunchiul tot după un disc, fiindcă taie paralel cu baza și conul întreg.

Ariile și volumul trunchiului

Mărime	Formula
aria laterală	$A_L=\pi g(R+r)$
aria totală	$A_T=\pi g(R+r)+\pi R^2+\pi r^2$

Aria totală are două baze, deci două discuri. Formulele vin din diferența dintre conul întreg $C$ și conul mic $C'$ înlăturat: $A_L(T)=A_L(C)-A_L(C')$ și Dacă trunchiul este dat prin îl poți completa până la con: înălțimile celor două conuri sunt și iar

Ordinea de lucru

1)Desenează secțiunea axială: aproape toate datele se văd în triunghiul sau în trapezul ei.
2)Notează $R$ , $H$ , $G$ (sau $R$ , $r$ , $h$ , dacă enunțul dă diametrul, împarte-l la

Conul și trunchiul de con: elemente, secțiuni, arii, volum

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Desene și scheme

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină