Ce cere programa
Tema are două părți. Prima este limbajul logicii: propoziția și valoarea ei de adevăr, negația, propozițiile generale și particulare, cuvintele „și”, „sau”, „nu”, „dacă – atunci”, „cel mult”, „cel puțin”, „unii”, „toți”, „oricare ar fi”, „există”. A doua sunt numerele naturale: scrierea lor, axa, compararea, cele patru operații cu proprietățile lor, factorul comun și împărțirea cu rest.
Propoziția și valoarea ei de adevăr
Un enunț e propoziție matematică atunci când îi poți stabili valoarea de adevăr: A (adevărat) sau F (fals). „84 este număr par” este o propoziție adevărată, „14 se împarte exact la 4” una falsă. Egalitatea 3x2−x=0 nu este propoziție cât timp nu știi cât e x: pentru x=0 e adevărată, pentru x=1 falsă. Altfel stau egalitățile cu litere adevărate pentru orice valori ale literelor, ca x+0=0+x sau x⋅y=y⋅x: acestea sunt propoziții.
Negația
Negația se formează de obicei cu „nu” pus în fața verbului: „14 se împarte exact la 4” devine „14 nu se împarte exact la 4”. O propoziție și negația ei au mereu valori opuse: dacă una e adevărată, cealaltă e falsă.
Propoziții compuse
Propozițiile simple se leagă prin „și”, „sau”, „dacă…, atunci…”.
- „p și q” este adevărată numai când ambele sunt adevărate.
- „p sau q” este adevărată când cel puțin una e adevărată; e falsă doar dacă ambele sunt false.
- „Dacă I, atunci C” este o formă în care se poate enunța o teoremă: I este ipoteza, C este concluzia. Schimbând locul lor obții reciproca, iar ea poate fi falsă. „Dacă un număr întreg se termină cu 0, atunci se divide cu este adevărată; reciproca ei nu este, fiindcă se divide cu și nu se termină cu
Propoziții generale și particulare
Una particulară vorbește despre un caz anume: „84 este număr par”. Una generală vorbește despre un element oarecare al unei mulțimi: „orice număr natural înmulțit cu 1 dă același număr”. O propoziție generală se scrie mai scurt cu semnul ∀, citit „oricare ar fi” (sau „pentru orice”). Semnul ∃ se citește „există”: „există un număr natural mai mic decât 1” este o propoziție adevărată, fiindcă 0 este număr natural. Ca să arăți că o propoziție generală e falsă, ajunge un singur contraexemplu: „orice număr impar este prim” cade la 9=3⋅3.
„Cel mult” și „cel puțin”
„Cel mult a” înseamnă „nu mai mare decât a”, adică ≤a. „Cel puțin a” înseamnă „nu mai mic decât a”, adică ≥a. Ambele îl includ pe a: numerele naturale care sunt cel puțin 3 și cel mult 6 sunt
Scrierea și compararea numerelor naturale
Numerele naturale sunt cele cu care numărăm: 0,1,2,3,… Cel mai mic este 0, iar unul cel mai mare nu există. Se scriu cu cifrele de la 0 la 9. Locul unei cifre, numărat de la dreapta, se numește ordin; trei ordine la rând formează o clasă (a unităților, a miilor, a milioanelor…), iar între clase lași un spațiu. Orice număr se desface în termeni de ordin: 4070315=4⋅1000000+7⋅10000+3⋅100+1⋅10+5. Pe axă, numărul mai mic stă la stânga celui mai mare.
Operațiile și proprietățile lor
| Operația | Ce trebuie să știi | Componenta necunoscută |
|---|
| Adunarea | comutativă, asociativă, a+0=a | termenul = suma − termenul cunoscut |
| Scăderea, a≥b | a−b=c înseamnă c+b=a |
Factorul comun
Distributivitatea citită de la dreapta la stânga: a⋅b+a⋅c=a⋅(b+c) și a⋅b−a⋅c=a⋅(b−c), cu Așa calculezi repede:
Împărțirea cu rest
Pentru orice numere naturale a și b=0 există câtul c și restul r astfel încât a=c⋅b+r și r<b. Dacă împărțirea este exactă. La nu se împarte. Proba: rest pentru că și
Ordinea operațiilor
Adunarea și scăderea sunt de ordinul I, înmulțirea și împărțirea de ordinul II, ridicarea la putere de ordinul III. Fără paranteze faci întâi ordinul III, apoi II, la urmă I; operațiile de același ordin le faci în ordinea în care sunt scrise. Cu paranteze: întâi cele rotunde, apoi cele drepte, la sfârșit acoladele.
