Matematica, Clasa a IX-a · Mulțimi numerice · Mulțimea numerelor naturale

Divizibilitate, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și puteri cu exponent natural

Divizori și multipli, criteriile de divizibilitate, numere prime, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și regulile de calcul cu puteri cu exponent natural. Aici ai definițiile și algoritmii din manualele de clasele a V-a și a VI-a.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse
Încă 3 părți — în abonament

Ce cere programa

Mulțimea numerelor naturale - Divizor. Mulțimea divizorilor unui număr natural. - Multiplu. Mulțimea multiplilor unui număr natural. - Mulțimea numerelor naturale (ℕ, ℕ*). - Numere prime, numere compuse. - Criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 10. Numere pare și numere impare. - Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime. - Divizor comun al două numere naturale. - C.m.m.d.c. al două numere naturale. Numere prime între ele. - Multipli comuni ai două numere naturale. C.m.m.m.c. al două numere naturale. - Puterea cu exponent număr natural. Proprietățile puterii cu exponent natural: produsul a două puteri cu aceeaşi bază, puterea produsului, câtul a două puteri cu aceeaşi bază, puterea unei puteri, a⁰, 1ⁿ.

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Tema adună două subiecte din clasele a V-a și a VI-a: divizibilitatea numerelor naturale și puterea cu exponent natural. Programa examenului de gimnaziu cere aici divizorii și multiplii, criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9 și 10, numerele prime și compuse, descompunerea în factori primi, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere și regulile de calcul cu puteri.

Numere naturale
$N = {0; 1; 2; 3; \dots}$ , iar $N^{*} = {1; 2; 3; \dots}$ este mulțimea numerelor naturale fără zero.

Divizor și multiplu
Spui că $a$ se divide cu $b$ când există un număr natural $c$ cu $a = b \cdot c$ . Atunci $b$ este divizor al lui $a$ , scris $b ∣ a$ , iar $a$ este multiplu al lui scris

Divizorii unui număr nenul $n$ formează o mulțime finită, $D_{n}$ : $D_{12} = {1; 2; 3; 4; 6; 12}$ .
Multiplii unui număr nenul $n$ formează o mulțime infinită, Cum zero se află în pentru orice

Criteriile de divizibilitate

Se divide cu	Când
$2$	ultima cifră este $0$ , $2$ , $4$ , $6$ sau $8$
$5$	ultima cifră este $0$ sau $5$
$10$	ultima cifră este $0$

Numerele care se divid cu $2$ sunt pare, celelalte sunt impare. La $3$ și $9$ ultima cifră nu decide nimic: un multiplu al lui $3$ se poate termina în orice cifră, deci aduni cifrele.

Numere prime și compuse
Un număr prim are exact doi divizori, $1$ și el însuși: $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ … Un număr compus are mai mult de doi divizori. Numărul $1$ are un singur divizor, de aceea nu este nici prim, nici compus, iar cel mai mic număr prim este $2$ .

Descompunerea în factori primi
Împarți numărul la cel mai mic număr prim la care se împarte exact, scrii câtul dedesubt și repeți până ajungi la câtul $1$ . Factorii găsiți se grupează în puteri: $300 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ .

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

$(a, b)$ este cel mai mare număr natural care îi divide pe ambii. Descompui numerele și înmulțești factorii primi comuni, fiecare cu exponentul cel mai mic: $450 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ , $1050 = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7$ , deci

Puterea cu exponent natural
$a^{n} = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ , cu $n$ factori egali ( $n > 1$ ); $a$ este baza, $n$ este exponentul. Se mai știe că pentru iar nu are sens. Într-o expresie fără paranteze ridici la putere înaintea înmulțirii:

Regulile de calcul cu puteri

Regula	Formula
produsul puterilor cu aceeași bază	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
câtul puterilor cu aceeași bază	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ ,

Primele două reguli cer aceeași bază. Când bazele diferă, dar sunt puteri ale aceluiași număr prim, le aduci întâi la baza comună cu puterea unei puteri: $9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ . Așa folosești descompunerea în factori primi și la calculul cu puteri.

Divizibilitate, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și puteri cu exponent natural

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină