Что требует программа
В теме две части. Первая – язык логики: высказывание и его истинностное значение, отрицание, общие и частные высказывания, слова «и», «или», «не», «если – то», «не менее», «не более», «некоторые», «все», «для любого», «существует». Вторая – натуральные числа: их запись, числовая ось, сравнение, четыре действия и их свойства, общий множитель и деление с остатком.
Высказывание и его истинностное значение
Утверждение считают математическим высказыванием, если у него можно определить истинностное значение: И (истинно) или Л (ложно). «84 – чётное число» – истинное высказывание, «14 делится на 4 без остатка» – ложное. Равенство 3x2−x=0 не является высказыванием, пока неизвестно, чему равен x: при x=0 оно верно, при x=1 неверно. Иначе обстоит дело с равенствами с буквами, верными при любых значениях букв, например x+0=0+x или x⋅y=y⋅x: это высказывания.
Отрицание
Отрицание обычно получают, поставив частицу «не» перед глаголом: «14 делится на 4 без остатка» превращается в «14 не делится на 4 без остатка». У высказывания и его отрицания значения всегда разные: если одно истинно, другое ложно.
Сложные высказывания
Простые высказывания соединяют словами «и», «или», «если…, то…».
- «p и q» истинно только тогда, когда истинны оба.
- «p или q» истинно, если истинно хотя бы одно; ложно, только когда ложны оба.
- «Если U, то Z» – так можно сформулировать теорему: U – условие, Z – заключение. Поменяв их местами, получают обратное высказывание, и оно может оказаться ложным. «Если целое число оканчивается цифрой 0, то оно делится на – верно; обратное неверно: делится на но не оканчивается нулём.
Общие и частные высказывания
Частное высказывание говорит о конкретном случае: «84 – чётное число». Общее касается произвольного элемента некоторого множества: «любое натуральное число при умножении на 1 не меняется». Общее высказывание можно записать короче знаком ∀, который читают «для любого». Знак ∃ читают «существует»: «существует натуральное число, меньшее 1» – истинное высказывание, ведь 0 – натуральное число. Опровергнуть общее высказывание можно контрпримером – примером, который ему противоречит: «любое нечётное число простое» опровергает 9=3⋅3.
«Не более» и «не менее»
«Не более a» значит «не больше a», то есть ≤a. «Не менее a» значит «не меньше a», то есть ≥a. Само число a в обоих случаях подходит: натуральные числа не менее 3 и не более 6 – это
Запись и сравнение натуральных чисел
Натуральные числа – это числа, которыми считают: 0,1,2,3,… Наименьшее из них 0, наибольшего нет. Записывают их цифрами от 0 до 9. Место цифры, если считать справа, называется разрядом; три разряда подряд образуют класс (единиц, тысяч, миллионов…), а между классами оставляют промежуток. Любое число раскладывается на разрядные слагаемые: 4070315=4⋅1000000+7⋅10000+3⋅100+1⋅10+5. На оси меньшее число стоит левее большего.
Действия и их свойства
| Действие | Что нужно знать | Неизвестный компонент |
|---|
| Сложение | переместительный и сочетательный законы, a+0=a | слагаемое = сумма − известное слагаемое |
| Вычитание, a≥b | a−b=c значит c+b=a |
Общий множитель
Распределительный закон, прочитанный справа налево: a⋅b+a⋅c=a⋅(b+c) и a⋅b−a⋅c=a⋅(b−c) при Так считают быстро:
Деление с остатком
Для любых натуральных a и b=0 существуют частное c и остаток r, такие что a=c⋅b+r и r<b. Если деление выполнено без остатка. На делить нельзя. Проверка: ост. потому что и
Порядок действий
Сложение и вычитание – действия первого порядка, умножение и деление – второго, возведение в степень – третьего. Без скобок сначала выполняют действия III порядка, потом II, в конце I; действия одного порядка – в том порядке, в каком они записаны. Со скобками: сначала круглые, затем квадратные, в конце фигурные.
