Алгебра: степени, логарифмы, многочлены, комплексные числа

Степени и корни
Для $a>0$ и действительных показателей:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$,

Приём, который решает почти любое вычисление: приведи все числа к одному основанию, например $32^{0{,}6}=\left(2^5\right)^{0{,}6}=2^3=8$.

Логарифмы
$\log_a b=c \iff a^c=b$, где $a>0$,

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ и при

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

1. 1)Запиши ОДЗ: аргументы логарифмов строго положительны, подкоренное выражение чётной степени неотрицательно.
2. 2)Приведи к одному основанию: $a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$, а внутри ОДЗ.

Квадратное уравнение
Для $ax^2+bx+c=0$ при $a\ne0$: $\Delta=b^2-4ac$ и

• $\Delta>0$ — два различных корня, $\Delta=0$ — один, $\Delta<0$ — действительных корней нет
• теорема Виета: $x_1+x_2=-\dfrac ba$,

Многочлены

• теорема об остатке: остаток от деления $P(X)$ на $X-a$ равен $P(a)$
• теорема Безу: $X=a$ — корень $P(X)$ тогда и только тогда, когда то есть делит

Комплексные числа
$z=a+bi$, где $i^2=-1$; сопряжённое $\overline z=a-bi$, модуль

• степени $i$ повторяются через четыре: $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$,

Системы с параметром
Решай подстановкой. Если система сводится к квадратному уравнению, «два различных решения» означает $\Delta>0$, а «одно решение» — либо $\Delta=0$, либо случай, когда коэффициент при $x^2$ обращается в нуль и уравнение становится линейным.