Геометрия: треугольники, четырёхугольники, круг, тела

Углы и треугольники

• сумма углов треугольника равна $180^{\circ }$, четырёхугольника — $360^{\circ }$
• в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, в равностороннем все углы по $60^{\circ }$
• средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине

Прямоугольный треугольник

• теорема Пифагора: $i^2=c_1^2+c_2^2$, например катеты $9$ и $12$ дают гипотенузу $15$
• катет, лежащий против угла в $30^{\circ }$, равен половине гипотенузы
• в прямоугольном равнобедренном треугольнике с катетом $c$ гипотенуза равна $c\sqrt{2}$
• $\sin \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\cos \alpha =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, причём $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подобие и теорема Фалеса
Если $MN\parallel AC$, где $M\in (AB)$ и $N\in (BC)$, то треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны, поэтому $\frac{AB}{BM}=\frac{BC}{BN}=\frac{AC}{MN}$. Отношение берётся между целыми сторонами: если $BM=2$ см и $AM=4$ см, то $AB=6$ см и отношение равно $3$, а не $2$.

Четырёхугольники

Окружность и круг

• длина окружности $L=2\pi R$, площадь круга $\mathcal{A}=\pi R^2$, площадь полукруга $\frac{\pi R^2}{2}$
• радиус вдвое меньше диаметра: если диаметром служит гипотенуза $2\sqrt{2}$, то радиус равен $\sqrt{2}$
• вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, а центральный угол равен самой дуге

Тела

• прямоугольный параллелепипед: $\mathcal{V}=abc$, причём $1$ м${}^3$ — это $1000$ литров
• в правильной пирамиде высота падает в центр основания, а боковое ребро, апофема и высота образуют прямоугольные треугольники
• в правильной четырёхугольной пирамиде с ребром основания $a$ диагональ основания равна $a\sqrt{2}$, её половина $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, а высота находится по теореме Пифагора вместе с боковым ребром
• объём пирамиды $\mathcal{V}=\frac{1}{3}{\mathcal{A}}_{\text{осн}}\cdot H$

Частные случаи прямоугольного треугольника

• с углами $30^{\circ }$ и $60^{\circ }$: меньший катет равен половине гипотенузы, а больший — $\frac{i\sqrt{3}}{2}$
• прямоугольный равнобедренный: гипотенуза равна катету, умноженному на $\sqrt{2}$
• пифагоровы тройки, которые сокращают вычисления: $(3;4;5)$, $(6;8;10)$, $(9;12;15)$ и $(5;12;13)$

Путь, которого требуют задачи на тела
В правильной четырёхугольной пирамиде шаги всегда одни и те же: диагональ квадрата в основании, $a\sqrt{2}$; её половина; затем высота по теореме Пифагора вместе с боковым ребром. В параллелепипеде спрашивают объём $\mathcal{V}=abc$, а вместимость переводят в литры, поскольку $1$ м${}^3$ — это $1000$ литров.

Где теряются баллы

• боковое ребро используют как высоту пирамиды
• радиус путают с диаметром у круга и полукруга
• отношение подобия берут между не теми отрезками: для $\frac{AB}{BM}$ сначала нужно $AB=BM+AM$
• соседние углы параллелограмма считают равными, хотя они дают в сумме $180^{\circ }$