Математика, BAC · Реальный профиль · Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей и математической статистики · Элементы математической статистики и теории вероятностей

Элементы математической статистики: диаграммы, среднее, медиана, мода

Элементы математической статистики на БАК, реальный профиль: группировка данных, частоты, диаграммы, среднее, медиана и мода. Здесь формулы из учебника, решённый пример и частые ошибки; медиана по интервалам не разбирается.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Для реального профиля программа БАК требует по этой теме четыре вещи: основные понятия, отбор, учёт и группировку данных, их графическое изображение (диаграммы в виде вертикальных отрезков, диаграммы с решётками и структурные диаграммы; «диаграммы с решётками» программы — это полосовые диаграммы учебника) и средние величины: среднее арифметическое, взвешенное среднее арифметическое, медиану и моду. Учебник 12 класса связывает их частотами и добавляет гистограмму и полигон частот.

Основные понятия
Статистика собирает, группирует, анализирует и истолковывает данные об определённом явлении. Статистическая совокупность — относительно однородная группа объектов или явлений с общими чертами, которую изучают статистически. Её элементы — статистические единицы, а их число — объём $n$ . Общая черта единиц, которую изучают, называется статистическим признаком, а его значения — вариантами. Признаки делят так:

качественный признак нельзя измерить (цвет глаз, профессия), количественный можно (оценка, рост);
количественный признак непрерывен, если принимает любые значения из промежутка (рост), и дискретен, если принимает только отдельные значения (оценка).

Обычно изучают не всю совокупность, а выборку, взятую случайным образом. Её данные говорят о всей совокупности только тогда, когда выборка репрезентативна, то есть сохраняет структуру совокупности.

Группировка данных
По вариантам данные превращаются в пары $(x_i;\,n_i)$ , где $n_i$ — абсолютная частота варианта $x_i$ , то есть сколько раз он встречается; такая таблица называется статистическим рядом, и $\sum n_i=n$ . Когда вариантов много, особенно у непрерывного признака, данные группируют по интервалам $[a;\,b)$ : правый конец интервалу не принадлежит (кроме, возможно, последнего интервала). Для числа интервалов $r$ учебник рекомендует формулу Стерджеса $r\approx1+3{,}322\lg n$ , а общее правило требует, чтобы $r$ было от 5 до 20. Длину $h=\dfrac{x_{\max}-x_{\min}}{r}$ округляют с избытком до целого, если она должна быть целой.

Кроме $n_i$ используют:

относительную частоту $f_i=\dfrac{n_i}{n}$ , её можно записать и в процентах;
накопленную абсолютную частоту $F_i=n_1+\dots+n_i$ ;

Графическое изображение

Диаграмма	Для каких данных	Как строится
Гистограмма	данные, сгруппированные по интервалам	на каждом интервале, как на основании, прямоугольник с высотой, пропорциональной частоте
Полигон частот	те же данные	ломаная через точки $(x_i^;\,n_i)$ , где $x_i^$ — середина интервала

Среднее арифметическое
Для значений $x_1,\dots,x_n$ : $\bar{x}=\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}x_i$ . По вариантам по интервалам вместо берут середину интервала. В двух последних случаях это взвешенное среднее. По определению сумма значений равна (следствие определения, а не отдельная формула учебника): так находят неизвестное значение по заданному среднему или среднее двух групп со средними и объёмами то есть

Медиана
Значения упорядочивают по возрастанию. При нечётном $n$ медиана — средний член, с номером $\dfrac{n+1}{2}$ ; при чётном $n$ — полусумма двух средних членов, с номерами $\dfrac n2$ и Медиана не обязана быть одним из значений ряда. В ряду по вариантам учебник даёт короткое правило: берут накопленные абсолютные частоты, и первая накопленная частота, большая указывает вариант, который и есть медиана. Оно не всегда совпадает с определением выше: для медиана равна (номер а правило даёт при чётном когда два средних номера попадают в разные варианты, оно даёт один вариант, а не их полусумму. Здесь медиану находят по определению, по средним номерам; накопленные частоты лишь показывают, в каком варианте находится каждый номер. Медиана для данных по интервалам здесь не разбирается.

Мода
Мода — значение с наибольшей частотой, а не сама частота. У ряда может быть два модальных значения (бимодальный ряд), а если у всех вариантов одна и та же частота, моды нет. Для данных по интервалам сначала находят модальный интервал, затем
$Mo=x_{\inf}+h\cdot\dfrac{n_2'-n_1'}{(n_2'-n_1')+(n_2'-n_3')}$ ,где — нижняя граница модального интервала, — его длина, а — частоты интервалов перед модальным, модального и следующего за ним.

Что говорит каждая величина
Среднее может скрывать действительность: значения $2;3;3;4;40$ дают среднее $10{,}4$ , а медиану $3$ . Поэтому медиана и мода дополняют среднее.

На экзамене
В заданиях БАК 2022–2026 из нашей коллекции эта тема встречается только у гуманитарного профиля (задание 14: среднее, медиана и неизвестное значение по заданному среднему); в реальном профиле заданий по ней не найдено.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: I CAN SCHOOL МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА · YouTube

О чём: Урок для 7 класса российской программы, не молдавский: среднее арифметическое набора чисел, мода (случаи без моды и с двумя модами) и медиана при нечётном и чётном числе значений. Размах в программе БАК не назван.

Канал: Matematika doma · YouTube

О чём: Группировка данных по интервалам длиной 10 (левый конец включается, правый нет, как в учебнике), таблица частот, проверка суммы частот, затем полигон частот по серединам интервалов и гистограмма. Не молдавский курс; средних величин в видео нет.

Канал: Matematika doma · YouTube

О чём: Среднее значение по формуле суммы и по таблице частот, накопленная частота и среднее для интервального ряда с серединами интервалов. Медиана и мода в этом видео не разбираются.

Элементы математической статистики: диаграммы, среднее, медиана, мода

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу