Что требует программа в гуманитарном профиле
Страница написана для работы BAC по математике гуманитарного профиля, тема XII.3. В программе: событие и классификация событий, классическое определение вероятности, случайные события и операции над ними, независимые случайные события, приложения вероятности. Вероятность вычисляют как отношение благоприятных случаев ко всем возможным. В списке программы нет случайной величины и математического ожидания.
Эксперимент и события
Эксперимент — любое действие, которое можно повторить в тех же условиях: бросок кубика, извлечение шара из урны. Его результат — событие. События бывают трёх видов:
- достоверное (E): происходит всегда;
- невозможное (∅): не происходит никогда;
- случайное: может произойти, а может и не произойти.
События, которые не могут произойти одновременно (при броске кубика «выпало чётное число» и «выпало нечётное число»), называют несовместимыми; остальные совместимы. Исходы равновозможны, если из соображений симметрии у всех одинаковые шансы: правильный кубик и правильная монета, шары одинаковой формы и размера.
Классическое определение
P(A)=nm, где n — число всех равновозможных исходов, а m — число исходов, благоприятных для A. Отсюда P(E)=1, P(∅)=0 и для любого события 0≤P(A)≤1. Отрицательная вероятность или вероятность больше 1 — признак ошибки в подсчёте.
Программа требует и сравнивать события по шансам их реализации: когда исходы равновозможны, более возможно событие с большим числом благоприятных случаев (в коробке 7 красных и 2 жёлтых шаров событие «шар красный» более возможно, чем «шар жёлтый»).
Как найти n и m
Здесь выигрывают или теряют баллы. В сложных задачах n и m находят методами подсчёта из комбинаторики, не выписывая все случаи. У них своя тема, а здесь это только инструменты:
| Ситуация | Как считать |
|---|
| выбирают k элементов из n, порядок важен (цифры по разрядам, места в рейтинге) | Ank=(n−k)!n! |
Сначала спроси себя, важен ли порядок: числа 123 и 321 разные (размещения), а две монеты, взятые сразу из копилки, порядка не имеют (сочетания). Правило умножения: числа способов последовательных выборов перемножаются, поэтому кубик, брошенный k раз, даёт 6k исходов, монета — 2k. Если благоприятных вариантов несколько и они исключают друг друга, каждый вариант считают отдельно и складывают (в схеме проверки 2026 года — сумма двух слагаемых).
Операции над событиями
- объединение A∪B: происходит хотя бы одно из двух;
- пересечение A∩B: происходят оба;
- противоположное Aˉ: A не происходит;
Формулы: для несовместимых событий P(A∪B)=P(A)+P(B); для совместимых P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) (у несовместимых и остаётся первая формула); для противоположного В задаче «по крайней мере дважды» учебник сначала находит вероятность противоположного события и вычитает её из так же можно действовать в задачах «хотя бы один», когда проще посчитать случаи, где не происходит ни одного.
Независимые события
События A и B независимы, если P(A∩B)=P(A)⋅P(B). События из не связанных между собой экспериментов (два кубика, брошенных отдельно; монета и кубик) естественно считать независимыми, и тогда вероятность того, что произойдут оба, равна произведению вероятностей. Не путай два понятия: несовместимые события не происходят вместе, а независимые удовлетворяют равенству
Приложения
Программа требует применять вероятность к процессам и явлениям из разных областей. В работах из раздела «На экзамене» задание на вероятность — текстовая задача: кубики, числа из заданных цифр, места в конкурсе, монеты из копилки, драже, розы. Обозначь события буквами, словами скажи, что значит каждое, и только потом считай.
Что оценивает схема проверки в гуманитарном профиле
В основной сессии 2026 года задание на вероятность стоит 8 баллов и оценивается по этапам: 2 балла за n, 4 за m и 2 за отношение p=nm. Разбивка не одинакова во всех сессиях: в заметках из «На экзамене» встречается и 2+4+2, и Если задание не предписывает метод, другой верный метод принимается и оценивается соответственно, а вычислений и объяснений, не указанных в условии, работа не требует. Поэтому записывай по очереди и чтобы каждый этап был виден.
