Что требует программа
Для реального профиля раздел XI.3 программы бакалавриата включает теорему Ферма, критические точки и точки экстремума, исследование функции с помощью производных первого и второго порядка, графическое изображение функции, пределы по правилам Лопиталя и задачи на максимум и минимум. Среди результатов обучения есть также промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба и глобальные экстремумы.
Теорема Ферма
Если f дифференцируема на интервале и x0 из него — точка локального экстремума, то f′(x0)=0: касательная в точке (x0;f(x0)) параллельна оси Ox. Обратное неверно. У f(x)=x3 производная в нуле равна 0, но 0 не точка экстремума. Уравнение f′(x)=0 даёт только кандидатов.
Монотонность
- Дифференцируемая на промежутке I функция возрастает на нём ровно тогда, когда f′(x)≥0 на I, и убывает ровно тогда, когда f′(x)≤0.
- Если f′(x)>0 на функция строго возрастает; если — строго убывает. Значит, промежутки монотонности — это промежутки, где сохраняет знак.
Критические точки и локальные экстремумы
x0 — точка локального максимума, если в некоторой её окрестности f(x)≤f(x0), и точка локального минимума, если f(x0)≤f(x). Абсциссы — это , а значения — : если спрашивают точки, отвечаешь значениями если экстремумы — значениями функции.
Точки, где f′=0, называются критическими (стационарными). Критическими называют и точки, где f непрерывна, но не дифференцируема: у ∣x∣ нет производной в нуле, и всё же 0 — её точка локального минимума. Решает знак f′ вокруг точки:
| f′ слева / справа от x0 | x0 — это |
|---|
| + / − | точка локального максимума |
| − / |
Порядок работы: находишь f′; решаешь f′(x)=0 и добавляешь точки, где f не дифференцируема; определяешь знак f′ между ними; записываешь промежутки монотонности; называешь точки экстремума и экстремумы. Всё сводится в таблицу поведения функции: в первой строке область определения и критические точки, во второй знаки f′, в последней стрелки и экстремумы.
Вторая производная
- Если f′(x0)=0 и f′′(x0)>0, то — точка локального минимума; если — локального максимума. Этот признак выручает, когда знак исследовать трудно.
Глобальные экстремумы
Для f, непрерывной на [a;b] и дифференцируемой на (a;b): вычисляешь f(a) и f(b), находишь критические точки внутри отрезка, считаешь в них значения и сравниваешь всё вместе. Наименьшее значение — глобальный минимум, наибольшее — глобальный максимум. Локальный экстремум не обязательно глобальный, а локальный минимум может быть даже больше локального максимума. На интервале вместо f(a) и f(b) берут пределы на концах, и найденные грани могут не достигаться.
Правила Лопиталя
Для предела вида 00 или ∞∞: если f и g дифференцируемы около x0, и существует предел отношения производных, то Числитель и знаменатель дифференцируют по отдельности, а не дробь целиком. Правило работает и при и его можно применять несколько раз подряд, пока остаётся неопределённость. Неопределённости сначала сводят к одному из двух видов: например, и его предел при равен
График
Исследование идёт в семь этапов: область определения и точки пересечения с осями; знак и симметрии; пределы на концах, непрерывность и асимптоты; первая производная; вторая производная; таблица поведения функции; построение графика. Этап со второй производной можно пропустить, если вычисления слишком громоздки.
Задачи на максимум и минимум
Выражаешь нужную величину как функцию одной переменной, находишь её область определения из условия задачи (длина положительна, вырез не больше листа) и ищешь глобальный экстремум на этой области. Два результата из учебника: из прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат; у открытой коробки из листа 50×80 см объём максимален при высоте 10 см.
