Степени и корни: свойства, рациональный показатель, знаменатель без корней
Степени с целым, рациональным и действительным показателем и корни степени 2 и 3 — тема раздела X.2 программы бакалавриата по математике, реальный профиль. Здесь определения, свойства из учебника, модуль и знаменатели без корней.
Что требует программа Для реального профиля степени и корни с их свойствами открывают раздел X.2 программы бакалавриата. Программа требует вычислений со степенями и с корнями степени 2 и 3 по соответствующим свойствам, а также приближений и округлений в вычислениях с действительными числами. Иррациональные и показательные уравнения — отдельные темы раздела X.5, и они опираются на правила отсюда. По куррикулуму тему проходят в X классе.
Степень с целым показателем Для a=0 и натурального n запись an означает произведение n множителей, равных a; кроме того, a0=1 и a−n=an1. Ноль в ненулевой натуральной степени даёт ноль, а 00 не определено. Положительное число в любой целой степени остаётся положительным.
Корень n-й степени
Нечётная степень: na=b означает bn=a, причём a может быть и отрицательным:
Свойства корней Для a,b≥0 (при нечётной степени — для любых действительных a,b):
Формула
Что даёт
(na)n=a
степень снимает корень той же степени
nab=na⋅nb
Чётная степень и модуль Для любого действительного a:a2=∣a∣ и так же 2ka2k=∣a∣. Если то Формулы из таблицы требуют известных знаков: имеет смысл и на где не определено, поэтому эти выражения не равны.
Вынесение и внесение множителя Из-под корня выносят множитель, который является полной степенью: 374−73⋅5=373⋅2=732. Если вносишь отрицательный множитель под квадратный корень, минус остаётся снаружи: С буквой всё решает её знак: равно при и при
Избавление от иррациональности в знаменателе Цель — убрать корни из знаменателя. Знаменатель a±b умножают на сопряжённое выражение: 7−22=52(7+2). Для корней степени 3 учебник применяет формулу — это случай общей формулы:
Степень с рациональным показателем Для a>0:anm=nam, где целое, натуральное. Например, Результат положителен, и равенство остаётся верным; отдельно для натуральных Определение дано для положительного основания, а основание 0 — отдельный случай выше; отрицательное основание в него не входит, поэтому кубический корень из отрицательного числа оставляют записанным корнем, а не степенью.
Степень с действительным показателем Для a>0 и иррационального x степень ax определяют через десятичные приближения x с недостатком и избытком; по определению 1x=1. При a≤0 такой степени нет, а при результат всегда положителен. Свойства те же, что у рационального показателя, для
ax⋅ay=ax+y,ayax=ax−y,
Пример из учебника: [(21)3]−27=(21)−9=512. Оттуда же: поэтому из следует
Оценки Иррациональный корень зажимают между известными степенями: 1,253<2<1,263, значит, 1,25<32<1,26.
Как работать
1.Запиши десятичные дроби обыкновенными, а числа — степенями простых множителей.
2.Переведи корни в степени с рациональным показателем, если основание положительно.
3.Примени свойства степеней и только потом считай.
4.При чётной степени и неизвестном знаке пиши модуль.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
3−0,125=−0,5.
Чётная степень: корень извлекают только из неотрицательного числа, и сам он неотрицателен: 0,25=0,5, а 4−16 не существует.
