Комбинаторика, статистика, финансы, вероятности

Классическая вероятность
$p=\frac{m}{n}$, где $n$ — число равновозможных исходов, $m$ — число благоприятных; всегда $0\le p\le 1$.

• у кости $6$ граней: две кости дают $36$ исходов, три кости $6^3=216$
• противоположное событие: $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)$
• считая благоприятные случаи, перебирай все упорядоченные варианты: произведение $4$ на трёх костях получается из $(1;1;4)$ и из $(1;2;2)$, каждый в $3$ расстановках, поэтому $m=6$

Составные события

• независимые: $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$
• несовместные: $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$
• «ровно один раз» означает объединение двух несовместных случаев: успех в первой попытке и неудача во второй либо неудача в первой и успех во второй, то есть $p=p_1\left(1-p_2\right)+\left(1-p_1\right)p_2^{\prime }$, где вероятность второй попытки может зависеть от первой

Статистика

• среднее арифметическое: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$, откуда сумма равна $n\overline{x}$
• недостающее значение находят из уравнения суммы: если среднее $10$ значений равно $7749$, то их сумма равна $77490$, а неизвестное — это разность до суммы остальных
• медиана — серединное значение после упорядочивания; при чётном числе значений это среднее двух серединных
• чтобы узнать, какой процент группы удовлетворяет условию, раздели их количество на общее число и умножь на $100$

Проценты и финансовые расчёты

• рост на $p\%$ — это умножение на $1+\frac{p}{100}$, снижение на $p\%$ — умножение на $1-\frac{p}{100}$
• два последовательных изменения перемножаются, а не складываются: $1,2\cdot 0,85=1,02$, то есть общий рост равен $2\%$
• подорожание и затем удешевление на один и тот же процент: $\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{x}{100}\right)=1-\frac{x^2}{10000}$, поэтому цена всегда падает
• из $1-\frac{x^2}{10000}=0,96$ следует $x^2=400$, то есть $x=20$
• на сколько процентов изменилась величина: $\frac{\text{разность}}{\text{первоначальное значение}}\cdot 100$

Случаи, которые повторяются

• вероятность ровно одного успеха из двух попыток, где вторая зависит от исхода первой
• произведение очков на трёх костях, где каждый вариант считается со всеми его расстановками
• среднее значение ряда, в котором одно число неизвестно
• процент значений, превышающих среднее
• подорожание и удешевление подряд на один и тот же процент

Среднее, шаг за шагом

1. 1)Записываешь сумму, которую задаёт среднее: $n\overline{x}$.
2. 2)Складываешь известные значения.
3. 3)Неизвестное — это разность двух сумм.
4. 4)И только потом считаешь, сколько значений превышают среднее, и переводишь результат в проценты.

Где теряются баллы

• «ровно один раз» посчитано как произведение, хотя это два несовместных случая, вероятности которых складываются
• в ответе даётся количество значений выше среднего, когда спрашивают их процент
• проценты складываются: два последовательных изменения перемножаются, а $\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{x}{100}\right)$ всегда меньше $1$
• случаи на костях посчитаны без расстановок, поэтому $m$ выходит слишком малым