Ce cere programa
Pagina este pentru profilul umanist, la care matematica este disciplină la solicitare. Capitolul X.4 al programei cere cercul cu coardele, arcele și discul, poziția unei drepte față de un cerc, unghiul la centru și unghiul înscris, triunghiul înscris într-un cerc și cel circumscris unui cerc; în aceeași unitate stau lungimea cercului și aria discului. Manualul de clasa a X-a are pentru temă un set de probleme separat pentru profilurile umanistic, arte și sport.
Cercul și discul
- Cercul C(O,R) cuprinde toate punctele planului care se află la distanța R de centrul O.
- Coarda are ambele capete pe cerc. Coarda care trece prin centru este diametrul; lungimea lui este 2R (lungimea cercului împărțită la diametru dă π, iar L=2πR).
- Punctele cu OM<R sunt în interiorul cercului, cele cu ON>R în exterior. Discul este cercul împreună cu interiorul lui.
Coarde
- Un diametru care trece prin mijlocul unei coarde (coarda nefiind ea însăși diametru) este perpendicular pe ea, iar reciproca este și ea teoremă. Deci perpendiculara dusă din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei.
- Din această figură iese un triunghi dreptunghic: dacă d este distanța de la centru la coarda AB, atunci, din teorema lui Pitagora, R2=d2+(2AB)2.
Arce și unghi la centru
- Unghiul la centru are vârful în centrul cercului. Arcul mic are măsura unghiului la centru corespunzător, arcul mare are 360∘ minus arcul mic, iar un semicerc are 180∘.
- Coardele congruente subîntind arce congruente.
- Un arc de n∘ este fracțiunea 360n din cerc, deci are lungimea (arcul de lungime are în radiani măsura iar înseamnă radiani).
Unghiul înscris
Un unghi înscris își are vârful pe cerc, iar ambele lui laturi taie cercul.
- Valoarea lui este jumătate din arcul pe care îl delimitează laturile; unghiul la centru pe același arc este dublul lui.
- Unghiurile înscrise care cuprind același arc sunt congruente.
- Un unghi înscris într-un semicerc este drept. Reciproc, dacă m(∠AMB)=90∘, punctul M se află pe cercul de diametru AB.
Dreapta și cercul
Fie d distanța de la centrul O la o dreaptă.
| Poziția dreptei | Condiția | Puncte comune cu cercul |
|---|
| exterioară | d>R | niciunul |
| tangentă | d=R | unul singur |
| secantă | d<R | două |
- Tangenta este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență. Centrul, punctul de tangență și orice alt punct al tangentei formează deci un triunghi dreptunghic.
- Dintr-un punct exterior M se pot duce două tangente. Segmentele până la punctele de tangență au aceeași lungime, iar centrul cercului se află pe bisectoarea unghiului dintre ele.
Triunghi înscris și triunghi circumscris
- Triunghiul este înscris într-un cerc când vârfurile lui sunt pe cerc. Centrul acelui cerc este la intersecția mediatoarelor laturilor.
- Triunghiul este circumscris unui cerc când cercul atinge fiecare latură a triunghiului. Centrul cercului este la intersecția bisectoarelor.
- În triunghiul dreptunghic, ipotenuza c este diametrul cercului circumscris: centrul este mijlocul ipotenuzei (mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ea), iar R=2c.
- Razele se leagă de aria S a triunghiului: din cu rezultă iar din rezultă În triunghiul dreptunghic,
Lungimea cercului și aria discului
L=2πR și A=πR2. Dacă se dă diametrul, afli întâi raza.
Cum alegi calea
Citește ce se dă. Coardă și distanța ei la centru: Pitagora cu jumătatea coardei. Unghi: treci prin arc, unde unghiul înscris este jumătate din arc. Tangentă: raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe ea. Triunghi cu cerc: S=p⋅r sau S=4Rabc. Desenează figura și scrie pe ea valorile date.
