Что требует программа
Страница для гуманитарного профиля, где математика сдаётся по выбору. Глава X.4 программы требует по этой теме окружность с хордами, дугами и кругом, взаимное расположение прямой и окружности, центральный и вписанный углы, треугольник, вписанный в окружность, и треугольник, описанный около окружности; в этом же разделе стоят длина окружности и площадь круга. В учебнике 10 класса для темы есть отдельный набор задач для гуманитарного профиля и профилей искусство и спорт.
Окружность и круг
- Окружность C(O,R) состоит из всех точек плоскости, отстоящих от центра O ровно на R.
- У хорды оба конца лежат на окружности. Хорда, проходящая через центр, — диаметр; его длина равна 2R (длина окружности, делённая на диаметр, даёт π, а L=2πR).
- Точки с OM<R лежат внутри окружности, точки с ON>R — снаружи. Круг — это окружность вместе с её внутренней областью.
Хорды
- Диаметр, проходящий через середину хорды (сама хорда не диаметр), перпендикулярен ей, и обратное утверждение тоже теорема. Значит, перпендикуляр из центра к хорде попадает в её середину.
- Отсюда прямоугольный треугольник: если d — расстояние от центра до хорды AB, то по теореме Пифагора R2=d2+(2AB)2.
Дуги и центральный угол
- Вершина центрального угла лежит в центре окружности. Мера меньшей дуги равна мере центрального угла, мера большей дуги равна 360∘ минус меньшая дуга, полуокружность равна 180∘.
- Конгруэнтные хорды стягивают конгруэнтные дуги.
- Дуга в n∘ составляет 360n окружности, поэтому её длина равна (радианная мера дуги длины равна а — это радиан).
Вписанный угол
У вписанного угла вершина на окружности, а обе стороны пересекают её.
- Его величина — половина дуги, на которую он опирается; центральный угол на той же дуге вдвое больше.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой. Обратно: если m(∠AMB)=90∘, то точка M лежит на окружности с диаметром AB.
Прямая и окружность
Пусть d — расстояние от центра O до прямой.
| Положение прямой | Условие | Общих точек с окружностью |
|---|
| внешняя | d>R | нет |
| касательная | d=R | одна |
| секущая | d<R | две |
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Центр, точка касания и любая другая точка касательной образуют прямоугольный треугольник.
- Из внешней точки M можно провести две касательные. Отрезки от внешней точки до точек касания равны, а центр окружности лежит на биссектрисе угла между касательными.
Вписанный и описанный треугольник
- Треугольник вписан в окружность, когда его вершины лежат на ней. Центр такой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
- Треугольник описан около окружности, когда окружность касается каждой его стороны. Центр — точка пересечения биссектрис.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза c — диаметр описанной окружности: центр лежит в середине гипотенузы (медиана к гипотенузе равна её половине), а R=2c.
- Радиусы связаны с площадью S: из где получаем а из получаем В прямоугольном треугольнике
Длина окружности и площадь круга
L=2πR и A=πR2. Если дан диаметр, сначала находят радиус.
Как выбрать путь
Сначала выписать, что дано. Хорда и её расстояние до центра: теорема Пифагора с половиной хорды. Угол: перейти к дуге, где вписанный угол равен её половине. Касательная: радиус в точку касания перпендикулярен ей. Треугольник и окружность: S=p⋅r или S=4Rabc. Рисунок делают сразу, данные подписывают на нём.
