Ce cere programa la profilul umanist
Pagina este scrisă pentru lucrarea BAC la matematică, profilul umanist, tema XII.1. Programa umanistă cuprinde: mulțime ordonată și factorial, legile combinatoricii, permutări, aranjamente și combinări (fără repetări), proprietățile combinărilor și aplicații în viața cotidiană, în economie, în finanțe, în sociologie, în arte, în tehnologii și în antreprenoriat. Ecuațiile și inecuațiile cu factoriale nu sunt în lista umanistă. Combinatorica este instrumentul cu care numeri cazurile n și m ale itemului de probabilitate (vezi „La examen”).
Mulțime ordonată și factorial
O mulțime finită este ordonată când contează în ce ordine sunt scrise elementele ei; se scrie între paranteze rotunde. Două mulțimi ordonate sunt egale doar cu aceleași elemente în aceeași ordine, deci (4,5,6)=(4,6,5).
Factorialul: n!=1⋅2⋅3⋅…⋅n. Prin definiție 0!=1, iar n!=(n−1)!⋅n. Ultima egalitate simplifică rapid:
Regulile combinatoricii
- Regula înmulțirii: dacă primul element se alege în n1 moduri, iar al doilea în n2 moduri, se pot forma n1⋅n2 perechi; la alegerile făcute una după alta numerele de moduri se înmulțesc. O monedă aruncată de ori (câte rezultate la fiecare aruncare) dă rezultate. Regula se extinde la oricâte alegeri.
Permutări, aranjamente, combinări
Formulele sunt valabile pentru 0≤m≤n.
| Ce faci | Ordinea | Numărul |
|---|
| așezi toate cele n elemente | contează | Pn=n! |
| alegi m din n și le ordonezi |
Legăturile dintre ele: Pn=Ann și Anm=Cnm⋅Pm. Manualul numără cu aranjamente numerele de telefon din șase cifre distincte (ordinea cifrelor contează) și cu combinări echipa de serviciu de elevi dintre (contează doar cine face parte din echipă): și sunt aranjamente diferite, dar este o singură combinare. Exemple de calcul: (trei factori, nu și
Proprietățile combinărilor
- Cn0=1, Cnn=1,
Cum alegi calea
- 1)Spune în cuvinte ce numeri. 2) Întreabă-te dacă ordinea contează. 3) Desparte problema în pași făcuți unul după altul (produs) și în variante care se exclud (sumă). Dacă o condiție fixează un loc (de pildă ultima cifră), numără întâi acel loc, apoi restul, cu regula înmulțirii. 4) La „cel puțin” adună variantele care convin: manualul rezolvă „cel puțin un contabil” prin adunarea cazurilor cu unul și cu doi contabili. Problemele de aici sunt fără repetări de elemente: cuvintele cu litere care se repetă nu fac parte din temă.
Legătura cu itemul de probabilitate
Probabilitatea este P(A)=nm: n este numărul tuturor rezultatelor egal posibile, m al celor favorabile. Baremul sesiunii de bază 2026 plătește separat n (2 puncte), (4 puncte) și raportul (2 puncte). Scrie pe rând și ca fiecare etapă să se vadă. Dacă itemul nu impune metoda, orice altă metodă corectă se acceptă, iar baremul nu cere calcule neprevăzute în enunț. Scrie probabilitatea ca fracție simplificată; orice probabilitate este între și
