Что требует программа
Страница написана для гуманитарного профиля, где математика сдаётся по выбору; учебник ставит под одним заголовком упражнения профилей гуманитарного, искусства и спорта. В разделе XI.1 программа называет: понятие последовательности действительных чисел, конечные и бесконечные последовательности, монотонные последовательности, арифметическую и геометрическую прогрессии со свойствами и приложениями. Предела последовательности в этом перечне нет.
Что такое последовательность
Последовательность действительных чисел — это функция, заданная на ненулевых натуральных числах: каждому n≥1 отвечает одно действительное число, n-й член xn. Всю последовательность записывают (xn)n≥1. Функцию можно задать и лишь на конечном числе последовательных номеров: тогда последовательность конечная; если номера не обрываются, она бесконечная.
Задают последовательность тремя способами:
- формулой общего члена: по an=3n−2 любой член находят, подставляя номер вместо n, то есть a1=1,
Монотонные последовательности
Последовательность возрастающая, если xn≤xn+1 при всех n, и убывающая, если xn≥xn+1. Когда неравенства строгие, она строго возрастающая или строго убывающая. «Монотонная» — общее название возрастающих и убывающих последовательностей. Чтобы выяснить вид, исследуют знак разности при всех Бывают и немонотонные последовательности: даёт
Арифметическая прогрессия
Это последовательность, в которой от каждого члена к следующему переходят прибавлением одного и того же числа r, разности: an+1=an+r. Первый член a1 и разность определяют всю последовательность. При прогрессия строго возрастает, при строго убывает, при постоянна.
- Общий член: an=a1+(n−1)⋅r. До члена с номером n разность прибавляют раз.
Геометрическая прогрессия
Первый член отличен от нуля, а от каждого члена к следующему переходят умножением на одно и то же ненулевое число q, знаменатель: bn+1=bn⋅q. Здесь тоже b1 и определяют всю последовательность.
- Общий член: bn=b1⋅qn−1, показатель степени n−1.
| Первый член и знаменатель | Геометрическая прогрессия |
|---|
| b1>0, q>1 или b1<0, 0<q<1 |
Приложения
Если величина от шага к шагу меняется на одно и то же значение, это арифметическая прогрессия; если в одно и то же число раз, геометрическая. Это прямо следует из двух определений. В учебнике среди упражнений гуманитарного профиля есть задачи с постоянным шагом: ряды амфитеатра, где в каждом следующем на 20 мест больше, и стержни теплицы, каждый следующий на 3 дм больше предыдущего. Есть и задача о банковском вкладе: 2700 леев под 9% годовых на 5 лет. В русском издании в условии не сказано, прибавляют ли проценты к сумме; здесь вклад разобран при условии, что прибавляют. Если к сумме S прибавить от неё, получится Значит, каждый год сумма умножается на одно и то же число и суммы по годам образуют геометрическую прогрессию.
Как выбрать путь
Это рабочие советы страницы, а не правила из учебника. Сначала посмотри, что дано. «Последовательные члены» зовут характеристическое свойство (a+c=2b или b2=a⋅c). Два заданных члена зовут систему относительно a1 и (или и составленную по формуле общего члена. Сумма зовёт формулу суммы. Если спрашивают, сколько членов удовлетворяют неравенству или является ли число членом последовательности, решают относительно и оставляют только ненулевые натуральные номера.
