Combinatorică și probabilități: binom, numărări, șanse
The topic in the ANCE tests: Combinatorică și probabilități
zzz
La BAC, profil real, combinatorica și probabilitățile aduc 16 din cele 100 de puncte, în ultimii doi itemi ai testului. Aici ai combinările, binomul lui Newton și probabilitatea clasică, cu pașii pe care îi cere baremul.
permutări, când toate elementele se aranjează: Pn=n!
aranjamente, când contează ordinea și se iau doar k elemente: Ank=(n−k)!n!
combinări, când ordinea nu contează: Cnk=k!(n−k)!n!
Întrebarea care alege formula este una singură: contează ordinea? O echipă, o mulțime de puncte sau o mână de cărți nu depind de ordine, deci se numără cu Cnk.
Proprietăți ale combinărilor
Cn0=Cnn=1,Cn1=n,Cn2=2n(n−1)
simetria: Cnk=Cnn−k
din Cn2=45 rezultă n(n−1)=90, deci n=10
Numărări cu condiții Când o alegere nu este permisă, numeri direct cazurile bune sau scazi cazurile rele din total. Pentru triunghiuri cu vârfuri printre puncte situate pe două drepte paralele, trei puncte de pe aceeași dreaptă nu formează triunghi: fie scazi aceste triplete din C73, fie numeri direct 3⋅C42+4⋅C32, adică două puncte de pe o dreaptă și unul de pe cealaltă.
Binomul lui Newton (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+⋯+Cnnbn, iar termenul general este Tk+1=Cnkan−kbk, cu k de la 0 la n.
coeficientul binomial al termenului al treilea este Cn2; coeficientul termenului include și factorii numerici din a și b
ca să găsești termenul care conține o putere dată a lui x, scrii exponentul lui x în Tk+1 și rezolvi ecuația în k
un termen este rațional când toți exponenții care apar sunt numere întregi: pentru Tk+1=C10k245(10−k)3−2k se cer și
Probabilitatea clasică p=nm, unde n este numărul cazurilor egal posibile și m al celor favorabile; mereu 0≤p≤1.
evenimentul contrar: p(A)=1−p(A)
evenimente independente: p(A∩B)=p(A)⋅p(B)
un zar are 6 fețe, două zaruri dau 36 de rezultate, trei zaruri 63=216; un zar împreună cu o monedă dau 12 rezultate egal posibile
Până la primul succes Dacă la o încercare succesul are probabilitatea p, iar eșecul q=1−p, atunci probabilitatea ca succesul să apară exact la a k-a încercare este qk−1p. Pentru o monedă aruncată până cade stema, p=21 și q=21, deci exact trei aruncări dau (21)2⋅21=81.
Tipurile de probleme care revin
alegeri dintr-o mulțime de puncte, cu condiția ca ele să formeze un triunghi
aruncări repetate până la primul succes, rezolvate cu qk−1p
termenul general al unei dezvoltări binomiale și condiția ca exponenții să fie numere întregi
doi binomi comparați prin coeficientul unui anumit termen
zaruri și monede, unde numărul cazurilor posibile este o putere: 6k pentru k zaruri
Cum numeri fără să greșești
1)Stabilești dacă ordinea contează: o echipă sau o mulțime de puncte cere combinări, o așezare pe locuri cere aranjamente.
2)Numeri întâi cazurile posibile, apoi pe cele favorabile, în același spațiu.
3)Verifici că 0≤p≤1: dacă raportul depășește 1, cele două numărări nu sunt din același spațiu.
Unde se pierd punctele La itemii de 8 puncte, cele mai multe puncte stau în numărarea cazurilor favorabile, nu în împărțirea finală. Se pierd prin tripletele coliniare uitate, prin confuzia dintre coeficientul binomial Cnk și coeficientul întreg al termenului și prin p⋅p în locul lui q⋅p la „exact a doua încercare”.
The rest of the lesson is in the subscription
The real ANCE items where the topic appears, the step-by-step solved example, the typical mistakes and the 7 check questions open with the subscription. “What you must know” stays free.
Source of the tests: the National Agency for Curriculum and Assessment, ance.gov.md. Nota10 is not affiliated with MEC or ANCE. Automatic grading is an estimate, not an official grade.
