Комбинаторика и вероятности: бином, подсчёты, шансы
The topic in the ANCE tests: Комбинаторика и вероятности
zzz
На БАК, реальный профиль, комбинаторика и вероятности дают 16 баллов из 100 в двух последних заданиях теста. Здесь собраны сочетания, бином Ньютона и классическая вероятность с шагами, которые требует схема проверки.
перестановки, когда расставляют все элементы: Pn=n!
размещения, когда порядок важен и берут только k элементов: Ank=(n−k)!n!
сочетания, когда порядок не важен: Cnk=k!(n−k)!n!
Вопрос, который выбирает формулу, всего один: важен ли порядок? Команда, набор точек или горсть шаров от порядка не зависят, поэтому их считают через Cnk.
Свойства сочетаний
Cn0=Cnn=1,Cn1=n,Cn2=2n(n−1)
симметрия: Cnk=Cnn−k
из Cn2=45 следует n(n−1)=90, то есть n=10
Подсчёты с условием Если какой-то выбор не годится, считай либо прямо нужные случаи, либо вычитай негодные из общего числа. Для треугольников с вершинами среди точек на двух параллельных прямых три точки одной прямой треугольника не дают: можно вычесть такие тройки из C73, а можно сразу посчитать 3⋅C42+4⋅C32, то есть две точки с одной прямой и одну с другой.
Бином Ньютона (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+⋯+Cnnbn, а общий член равен Tk+1=Cnkan−kbk, где k меняется от 0 до n.
биномиальный коэффициент третьего члена равен Cn2; коэффициент самого члена включает ещё и числовые множители из a и b
чтобы найти член с нужной степенью x, запиши показатель при x в Tk+1 и реши уравнение относительно k
член рационален, когда все показатели целые: для Tk+1=C10k245(10−k)3−2k нужны и
Классическая вероятность p=nm, где n — число равновозможных исходов, m — число благоприятных; всегда 0≤p≤1.
противоположное событие: p(A)=1−p(A)
независимые события: p(A∩B)=p(A)⋅p(B)
у кости 6 граней, две кости дают 36 исходов, три кости 63=216; кость вместе с монетой дают 12 равновозможных исходов
До первого успеха Если при одной попытке успех имеет вероятность p, а неудача q=1−p, то вероятность того, что успех случится ровно на k-й попытке, равна qk−1p. Для монеты, которую бросают до герба, p=21 и q=21, поэтому ровно три броска дают (21)2⋅21=81.
Типы задач, которые повторяются
выбор из множества точек с условием, что они образуют треугольник
повторные броски до первого успеха, решаемые формулой qk−1p
общий член биномиального разложения и условие целости показателей
два бинома, сравниваемые по коэффициенту определённого члена
кости и монеты, где число возможных исходов является степенью: 6k для k костей
Как считать без ошибок
1)Определяешь, важен ли порядок: команда или множество точек требуют сочетаний, расстановка по местам — размещений.
2)Сначала считаешь возможные исходы, затем благоприятные, в том же пространстве.
3)Проверяешь, что 0≤p≤1: если отношение больше 1, два подсчёта сделаны в разных пространствах.
Где теряются баллы В заданиях на 8 баллов большая часть балла лежит в подсчёте благоприятных случаев, а не в итоговом делении. Баллы теряют из-за забытых троек точек на одной прямой, из-за путаницы между биномиальным коэффициентом Cnk и полным коэффициентом члена и из-за p⋅p вместо q⋅p в задаче «ровно на второй попытке».
The rest of the lesson is in the subscription
The real ANCE items where the topic appears, the step-by-step solved example, the typical mistakes and the 7 check questions open with the subscription. “What you must know” stays free.
Source of the tests: the National Agency for Curriculum and Assessment, ance.gov.md. Nota10 is not affiliated with MEC or ANCE. Automatic grading is an estimate, not an official grade.
