Matematica, BAC · Profil real · Analiză matematică · Funcții derivabile. Aplicații ale derivatelor
Derivata: definiția, tabelul derivatelor, regulile de derivare
Derivata unei funcții la BAC, profilul real: definiția, tabelul derivatelor, regulile de derivare, funcția compusă și derivatele de ordinul 2 și 3. Aici ai formulele din manual și ordinea în care le aplici.
XI.3. Funcții derivabile. Aplicații ale derivatelor
- Noțiunea de derivată. Funcții derivabile pe o mulțime.
- Tabelul derivatelor funcțiilor elementare.
- Calculul derivatelor. Reguli de derivare.
- Derivata funcției compuse (cel mult trei funcții).
- Derivata de ordin n, n ∈ {2,3}.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Tema deschide unitatea XI.3 a programei de BAC pentru profilul real și se învață în clasa a XI-a. Ea cuprinde noțiunea de derivată, funcțiile derivabile pe o mulțime, tabelul derivatelor funcțiilor elementare, regulile de derivare, derivata funcției compuse din cel mult trei funcții și derivatele de ordinul 2 și 3. Tangenta, sensul fizic și studiul funcției sunt teme separate, dar toate pornesc de la același pas: f′(x) calculat corect. În baremul-model din programă, la itemul 10 a) acest pas aduce 2 puncte din 8.
Definiția Fie f definită pe un interval deschis I și x0∈I. Derivata lui f în x0 este limita f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0). Când această limită există și e finită, spui că f este derivabilă în x0. Când e infinită sau nu există, f nu este derivabilă în acel punct.
Dacă f e derivabilă în fiecare punct al unei mulțimi M, ea este derivabilă pe M, iar funcția x↦f′(x) se numește derivata lui f pe M. Trecerea de la f la se numește derivare. Alte notații: Punctele în care este derivabilă formează domeniul de derivabilitate o parte a domeniului de definiție.
Derivabilitate și continuitate Derivabilitatea într-un punct atrage continuitatea în el. Reciproca nu e adevărată: f(x)=∣x∣ e continuă în 0, dar are acolo derivata la stânga −1 și derivata la dreapta 1, deci nu este derivabilă în 0. Tot în 0 se oprește derivabilitatea radicalului nx, de exemplu, e definită pe dar derivabilă doar pe
Tabelul derivatelor
Funcția
Derivata
Unde
c (constantă)
0
R
x
1
R
xn,n∈N,n≥2
Regulile de derivare Pentru f,g derivabile și c o constantă:
(f±g)′=f′±g′ și (c⋅f)′=c⋅f′
Derivata unui număr este 0, inclusiv a numărului f(x0). Așadar f′(x0) se obține în două mișcări: afli formula lui f′(x), apoi pui
Funcția compusă (g(f(x)))′=g′(f(x))⋅f′(x): derivezi funcția exterioară cu argumentul neschimbat și înmulțești cu derivata argumentului. La trei funcții lanțul are trei factori: (h(g(f(x))))′=h′(g(f(x)))⋅g′(f(x))⋅f′(x). De pildă,
Derivate de ordin superior Derivata lui f′ este derivata de ordinul doi, f′′; derivata lui f′′ este f′′′, de ordinul trei. Ordinul se scrie în paranteze, f(n), ca să nu fie citit drept exponent, iar Pentru Funcția rămâne la fiecare derivare, iar trece prin
Ordinea de lucru
1)Notează domeniul și unde este funcția derivabilă.
2)Vezi cum e construită: sumă, produs, cât sau compusă.
3)Aplică regula potrivită, apoi formulele din tabel.
4)Simplifică: scoate factorul comun, adu la numitor comun.
5)Abia la urmă înlocuiește x0 sau rezolvă f′(x)=0 în domeniu.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Manual · Ion Achiri (modulul 4), Vasile Ciobanu, Petru Efros, Valentin Garit, Vasile Neagu, Nicolae Prodan, Dumitru Taragan, Anatol Topală · 2020 · p. 95–98, 103–106, 108–115 · în română
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
f′
y′,
dxdy,
dxdf.
f
Df′,
n≥2:
x
[0;+∞),
(0;+∞).
nxn−1
R
xα,α∈R
αxα−1
(0;+∞)
x
2x1
(0;+∞)
sinx
cosx
R
cosx
−sinx
R
tgx
cos2x1
x=2π+kπ
ctgx
−sin2x1
x=kπ
ax,a>0,a=1
axlna
R
ex
ex
R
lnx
x1
(0;+∞)
logax
xlna1
(0;+∞)
arcsinx
1−x21
(−1;1)
arccosx
−1−x21
(−1;1)
arctgx
1+x21
R
arcctgx
−1+x21
R
(f⋅g)′=f′g+fg′
(gf)′=g2f′g−fg′ acolo unde g=0; cu f=1 rezultă (g1)′=−g2g′
